Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x²-x），其中a∈R
（1）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由；
（2）若任意x∈（0，+∞），f（x）＞0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．令g（x）=2ax²+ax-a+1，對a與△分類討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況．
（2）由（1）可知：當(dāng)0≤a≤$\frac{8}{9}$時，可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)性，即可判斷出；當(dāng)$\frac{8}{9}$＜a≤1時，由g（0）≥0，可得x₂≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)性，即可判斷出；當(dāng)1＜a時，由g（0）＜0，可得x₂＞0，利用x∈（0，x₂）時函數(shù)f（x）單調(diào)性，即可判斷出；當(dāng)a＜0時，設(shè)h（x）=x-ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其單調(diào)性，即可判斷出．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x²-x），其中a∈R，x∈（-1，+∞）．
f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+2ax-a=$\frac{2{ax}^{2}+ax-a+1}{x+1}$，
令g（x）=2ax²+ax-a+1，
（i）當(dāng)a=0時，g（x）=1，此時f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)．
（ii）當(dāng)a＞0時，△=a²-8a（1-a）=a（9a-8）．
①當(dāng)0＜a≤$\frac{8}{9}$時，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)．
②當(dāng)a＞$\frac{8}{9}$時，△＞0，設(shè)方程2ax²+ax-a+1=0的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂，x₁＜x₂．
∵x₁+x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴x₁＜-$\frac{1}{4}$，x₂＞-$\frac{1}{4}$，
由g（-1）＞0，可得-1＜x₁＜-$\frac{1}{4}$；
∴當(dāng)x∈（-1，x₁）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
因此函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)．
（iii）當(dāng)a＜0時，△＞0．由g（-1）=1＞0，可得x₁＜-1＜x₂．
∴當(dāng)x∈（-1，x₂）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
因此函數(shù)f（x）有一個極值點(diǎn)．
綜上所述：當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）有一個極值點(diǎn)；
當(dāng)0≤a≤$\frac{8}{9}$時，函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞$\frac{8}{9}$時，函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)．
（2）由（1）可知：
①當(dāng)0≤a≤$\frac{8}{9}$時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∵f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時，f（x）＞0，符合題意．
②當(dāng)$\frac{8}{9}$＜a≤1時，由g（0）≥0，可得x₂≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
又f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時，f（x）＞0，符合題意．
③當(dāng)1＜a時，由g（0）＜0，可得x₂＞0，
∴x∈（0，x₂）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
又f（0）=0，
∴x∈（0，x₂）時，f（x）＜0，不符合題意，舍去；
④當(dāng)a＜0時，設(shè)h（x）=x-ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=$\frac{x}{x+1}$＞0．
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
因此x∈（0，+∞）時，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，
可得：f（x）＜x+a（x²-x）=ax²+（1-a）x，
當(dāng)x＞1-$\frac{1}{a}$時，
ax²+（1-a）x＜0，此時f（x）＜0，不合題意，舍去．
綜上所述，a的取值范圍為[0，1]．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．