Question

給出下列命題：①若函數f(x)=

(3a-1)x+4a，x＜1 logax，x≥1

在（-∞，+∞）上是減函數，則a的取值范圍是(0，

1

3

)；②若函數f（x）滿足f（x+1）=f（3-x），則f（x）的圖象關于直線x=2對稱；③函數y=f（x+1）與函數y=f（3-x）的圖象關于直線x=2對稱；④若函數f（x+2013）=x²-2x-1（x∈R），則f（x）的最小值為-2．其中正確命題的序號有

 

（把所有正確命題的序號都寫上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：利用函數的單調性判斷①的正誤；利用函數的圖象的對稱性判斷②的正誤；利用兩個函數的圖象的對稱性判斷③的正誤；利用二次函數的最值以及函數的圖象的左右平移不改變函數的最值判斷④的正誤；

解答： 解：對于①，函數f(x)=

(3a-1)x+4a，x＜1 logax，x≥1

在（-∞，+∞）上是減函數，
∴a∈（0，1），并且3a-1＜0，解得a＜

1

3

，
3a-1+4a≥0，解得a≥

1

7

，
∴a∈[

1

7

，

1

3

)，
∴①不正確；
對于②，函數f（x）滿足f（x+1）=f（3-x），則f（x）的圖象關于直線x=2對稱，
∴②正確；
對于③，函數y=f（x+1）與函數y=f（3-x）的圖象關于直線x=2對稱；
∵函數y=f（a+x）與函數y=f（b-x）的圖象關于直線x=

b-a

2

對稱，
∴函數y=f（x+2）的圖象與函數y=f（3-x）的圖象關于直線x=

3-1

2

=1對稱，
∴③不正確．
對于④，函數f（x+2013）=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2，函數的最小值是-2，則f（x）與f（x+2013）只是函數的圖象左右平移，不改變函數的最小值為-2．
∴④正確．
綜上正確是命題是：②④．
故答案為：②④．

點評：本題考查函數的圖象的單調性，函數的最值，考查函數圖象的對稱性，要求區(qū)分f（a+x）=f（a-x）與y=f（a+x）和y=f（a-x）的對稱性是區(qū)別，前者關于x=a對稱，后者關于y軸對稱．