Question

3．已知函數(shù)f（x）是定義在R上不恒為0的函數(shù)，且對于任意的實數(shù)a，b滿足f（2）=2，f（ab）=af（b）+bf（a），a_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$（n∈N^*），b_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{n}$（n∈N^*），給出下列命題：
①f（0）=f（1）；
②f（x）為奇函數(shù)；
③數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
④數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
其中正確的命題是①②③④．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 令a=b=0，a=b=1，可得f（0），f（1），可判斷①；令a=b=-1，求得f（-1），再由奇偶性的定義，可判斷②；
再由f（2）=2，運用已知等式，求得f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2ⁿ=…=n•2ⁿ，可得數(shù)列{a_n}、數(shù)列{b_n}的通項公式，即可判斷③④．

解答 解：∵取a=b=0，可得f（0）=0，
取a=b=1，可得f（1）=2f（1），即f（1）=0，
∴f（0）=f（1），
即①正確；
令a=b=-1，則f（1）=-f（-1）-f（-1）=0⇒f（-1）=0，
令a=-1，則f（-b）=-f（b）+bf（-1）=-f（b）⇒f（x）為奇函數(shù)，
即②正確；
∵f（ab）=af（b）+bf（a），
∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）
=2f（2^n-1）+2ⁿ=…=n•2ⁿ，
∴a_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$=n，b_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{n}$=2ⁿ，
即有③④正確．
故答案為：①②③④．

點評 本題考查抽象函數(shù)的函數(shù)值的求法，注意運用賦值法，考查函數(shù)的奇偶性的判斷，注意運用定義法，同時考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判定，注意運用運用通項公式，考查推理能力和運算能力，屬于中檔題和易錯題．