Question

已知f（x）=-x²+2ax+1-a．
（1）若f（x）在[0，1]上的最大值是2，求實數(shù)a的值；
（2）設M={a∈R：f（x）在區(qū)間[-2，3]上的最小值為-1}，試求M；
（3）是否存在實數(shù)a使f（x）在[-4，2]上的值域為[-12．，13]？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求對稱軸，比較對稱軸和區(qū)間的關系，利用開口向下的二次函數(shù)離對稱軸越近函數(shù)值越大來解題．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a，分區(qū)間[-2，3]在對稱軸的左側(cè)，右側(cè)，兩側(cè)三種情況進行討論，根據(jù)f（x）在區(qū)間[-2，3]上的最小值為-1，構(gòu)造a的方程，判斷是否有滿足條件的解，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）=-x²+2ax+1-a，分區(qū)間對稱軸[-4，2]左側(cè)，右側(cè)，在區(qū)間上但在中點左側(cè)，右側(cè)四種情況進行討論，根據(jù)f（x）在[-4，2]上的值域為[-12，13]，構(gòu)造a的方程，判斷是否有滿足條件的解，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．

解答：解：（1）對稱軸x=a，
當a＜0時，[0，1]是f（x）的遞減區(qū)間，f（x）_max=f（0）=1-a=2，∴a=-1；
當a＞1時，，[0，1]是f（x）的遞增區(qū)間，f（x）_max=f（1）=a=2，∴a=2；
當0≤a≤1時，f（x）_max=f（a）=）=a^2-a+1=2，解得a=

1± 5

2

，與0≤a≤1矛盾；
所以a=-1或a=2．
（2）當a＜-2時，區(qū)間[-2，3]是f（x）的遞減區(qū)間，f（x）_min=f（3）=5a-8＜-18，不滿足要求；
當a＞3時，區(qū)間[-2，3]是f（x）的遞增區(qū)間，f（x）_min=f（-2）=-5a-3＜18，不滿足要求；
當-2≤a≤3時，f（x）_min=f（a）=a²-a+1≥

3

4

不滿足要求；
綜上不存在滿足條件的a值，故M=Φ．
（3）當a＜-4時，區(qū)間[-4，2]是f（x）的遞減區(qū)間，則若f（x）_min=f（2）=-12，則a=-3，不滿足要求；
當a＞2時，區(qū)間[-4，2]是f（x）的遞增區(qū)間，則若f（x）_min=f（-4）=-12，則a=-

1

3

，不滿足要求；
當-4≤a≤-1時，f（x）_min=f（2）=3a-3=-12，則a=-3，此時f（x）_max=f（a）=a²-a+1=13，滿足要求；
當-1≤a≤2時，f（x）_min=f（-4）=-9a-15=-12，則a=-

1

3

，此時f（x）_max=f（a）=a²-a+1=

13

9

，不滿足要求；
綜上，在實數(shù)a=-3滿足條件．

點評：此題是個中檔題．本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題．關于不定解析式的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問題，一般是根據(jù)對稱軸和閉區(qū)間的位置關系來進行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結(jié)論