已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在上的最大值和最小值.
【答案】分析:(Ⅰ)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),把函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立問(wèn)題,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于正實(shí)數(shù)a的不等式問(wèn)題即可求出正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)為0的根,進(jìn)而求出其在上的單調(diào)性即可求f(x)在上的最大值和最小值.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=+lnx,
∴f'(x)=   (a>0)
∵函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)
∴f'(x)=≥0對(duì) x∈[1,+∞)恒成立 
∴ax-1≥0 在x∈[1,+∞)上恒成立 
∴a≥,對(duì)x∈[1,+∞)恒成立 
∴a≥1.
(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),f'(x)=
當(dāng)x∈[,1)時(shí),f'(x)<0,故f(x)在x∈[,1)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f'(x)>0,f(x)在x∈[1,2]上單調(diào)遞增.
∴f(x)在x∈[,2]上有唯一極小值點(diǎn),
故f(x)min=f(x)極小值=f(1)=0
∵f()=1-ln2,f(2)=-+ln2,f()-f(2)=-2ln2=
∵e3>16,∴f()-f(2)>0⇒f()>f(2).(10分)
∴f(x)在區(qū)間[,2]上的最大值f(x)=f()=1-ln2.
綜上可知,函數(shù)f(x)在上的最大值是1-ln2,最小值是0.
點(diǎn)評(píng):本題第二問(wèn)考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,求函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值是通過(guò)比較函數(shù)在(a,b)內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f(a),f(b) 比較而得到的.
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(Ⅰ)已知函數(shù),若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)已知,的部分函數(shù)值由下表給出,

 求證:;

(Ⅲ)定義集合

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-3

0

6

1

1

 

 

 

 

 

A.            B.           C.    D.

 

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我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為,所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為.

(Ⅰ)已知函數(shù),若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)已知的部分函數(shù)值由下表給出,

 求證:

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我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為,所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為.

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