如圖,某園林綠化單位準備在一直角ABC內(nèi)的空地上植造一塊“綠地△ABD”,規(guī)劃在△ABD的內(nèi)接正方形BEFG內(nèi)種花,其余地方種草,若AB=a,∠DAB=θ,種草的面積為S1,種花的面積為S2,比值
S1S2
稱為“規(guī)劃和諧度”.
(I)試用a,θ表示S1,S2;
(II)若a為定值,BC>AB.當θ為何值時,“規(guī)劃和諧度”有最小值?最小值是多少?
分析:(I)求出△ABD的面積為,設(shè)正方形BEFG的邊長為t,利用三角形的相似求出S2,然后求出S1
(II)由(I)
S1
S2
,通過tanθ∈(0,+∞),通過基本不等式推出,當θ=
π
4
時,
S1
S2
有最小值1.
解答:解:(I)∵BD=atanθ,
∴△ABD的面積為
1
2
a2tanθ(θ∈(0,
π
2
))…(2分)
設(shè)正方形BEFG的邊長為t,
則由
FG
AB
=
DG
DB
,得
t
a
=
atanθ-t
atanθ
,解得t=
atanθ
1+tanθ
,…(4分)
∴S2=
a2tan2θ
(1+tanθ)2
,
∴S1=
1
2
a2tanθ-S2=
1
2
a2tanθ-
a2tan2θ
(1+tanθ)2
.…(6分)
(II)由(I)
S1
S2
=
(1+tanθ)2
2tanθ
-1,…(8分)
∵tanθ∈(0,+∞),
S1
S2
=
1
2
(tanθ+
1
tanθ
+2)-1=
1
2
(tanθ+
1
tanθ
)≥1,…(10分)
當且僅當tanθ=1時取等號,此時θ=
π
4

∴當θ=
π
4
時,
S1
S2
有最小值1.…(12分)
點評:本題考查解三角形的實際應用,基本不等式的應用,考查計算能力.
練習冊系列答案
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如圖,某園林綠化單位準備在一直角ABC內(nèi)的空地上植造一塊“綠地△ABD”,規(guī)劃在△ABD的內(nèi)接正方形BEFG內(nèi)種花,其余地方種草,若AB=a,,種草的面積為,種花的面積為,比值稱為“規(guī)劃和諧度”。

(I)試用表示;

(II)若為定值,BC >AB。當為何值時,“規(guī)劃和諧度”有最小值?最小值是多少?

 

 

 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,某園林綠化單位準備在一直角ABC內(nèi)的空地上植造一塊“綠地△ABD”,規(guī)劃在△ABD的內(nèi)接正方形BEFG內(nèi)種花,其余地方種草,若AB=a,∠DAB=θ,種草的面積為S1,種花的面積為S2,比值數(shù)學公式稱為“規(guī)劃和諧度”.
(I)試用a,θ表示S1,S2
(II)若a為定值,BC>AB.當θ為何值時,“規(guī)劃和諧度”有最小值?最小值是多少?

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科目:高中數(shù)學 來源:山東省月考題 題型:解答題

如圖,某園林綠化單位準備在一直角ABC內(nèi)的空地上植造一塊“綠地△ABD”,規(guī)劃在△ABD的內(nèi)接正方形BEFG內(nèi)種花,其余地方種草,若AB=a,∠DAB=θ,種草的面積為S1,種花的面積為S2,比值稱為“規(guī)劃和諧度”.
(I)試用a,θ表示S1,S2;
(II)若a為定值,BC>AB.當θ為何值時,“規(guī)劃和諧度”有最小值?最小值是多少?

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(I)試用a,θ表示S1,S2;
(II)若a為定值,BC>AB.當θ為何值時,“規(guī)劃和諧度”有最小值?最小值是多少?

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