Question

18．如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于點F，且點F在CE上．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）求三棱錐D-AEC的體積；
（3）設點M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析 （1）推導出AE⊥BC，BF⊥AE，由此能證明AE⊥BE．
（2）由V_D-AEC=V_E-ADC，能求出三棱錐D-AEC的體積．
（3）過點M作MG∥AE，交BE于點G，過點G作GN∥BC，交BC于點N，連接MN，推導出GN∥平面ADE，由此能求出當點N為線段CE上靠近點C的一個三等分點時，MN∥平面ADE．

解答 證明：（1）由AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC，…2分
而BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，
又BE?平面BCE，∴AE⊥BE．…4分
解：（2）在△ABE中，過點E作EH⊥AB于點H，則EH⊥平面ACD．
由已知及（Ⅰ）得EH=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，S_△ADC=2$\sqrt{2}$．…6分
故V_D-AEC=V_E-ADC=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{4}{3}$．…8分
（3）在△ABE中過點M作MG∥AE，交BE于點G，
在△BEC中，過點G作GN∥BC，交BC于點N，
連接MN，則由$\frac{CN}{CE}=\frac{BG}{BE}=\frac{MB}{AB}=\frac{1}{3}$，得CN=$\frac{1}{3}CE$，…10分
∵MG∥AE，MG?平面ADE，AE?平面AED，
∵MG∥平面ADE，由GN∥BC，BC∥AD，
∴GN∥平面ADE，
又MN?平面MGN，則MN∥平面ADE．
∴當點N為線段CE上靠近點C的一個三等分點時，MN∥平面ADE．…13分．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查滿足條件的點的位置的確定，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．