【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=log2x,g(x)=2log2(2x+a),a∈R
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若對(duì)任意x∈[1,4],f(4x)≤g(x),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè)a>﹣2,求函數(shù)h(x)=g(x)﹣f(x),x∈[1,2]的最小值.

【答案】
(1)解:若x<0,則﹣x>0,∴f(﹣x)=log2(﹣x),

∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣log2(﹣x),

又f(0)=0,

∴f(x)=


(2)解:由f(4x)≤g(x)得log2(4x)≤2log2(2x+a),

∴(2x+a)2≥4x,

∵2x+a>0,x>0,

即2x+a≥2 ,∴a≥2 ﹣2x,

設(shè) =t,則t∈[1,2],令p(t)=2t﹣2t2,

則p(t)在[1,2]上單調(diào)遞減,

∴﹣4≤p(t)≤0.

∴a≥0.


(3)解:h(x)=g(x)﹣f(x)=2log2(2x+a)﹣log2x=log2 ,

令q(x)= =4x+ +4a,

令q′(x)=0得x= ,

①若 ≤1即﹣2<a≤2時(shí),q(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,

∴q(x)的最小值為q(1)=a2+4a+4=(a+2)2

∴h(x)的最小值為log2(a+2)2=2log2(a+2);

②若 ≥2即a≥4時(shí),q(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,

∴q(x)的最小值為q(2)=8+ +4a= (a+4)2,

∴h(x)的最小值為log2[ (a+4)2]=﹣1+2log2(a+4);

③若1< <2即2<a<4時(shí),q(x)在[1,2]上先減后增,

∴q(x)的最小值為q( )=8a,

∴h(x)的最小值為log2(8a)=3+log2a.

綜上:當(dāng)﹣2<a≤2時(shí),h(x)的最小值為2log2(a+2);

當(dāng)2<a<4時(shí),h(x)的最小值為3+log2a;

當(dāng)a≥4時(shí),h(x)的最小值為﹣1+2log2(a+4)


【解析】(1)利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出f(x)在(﹣∞,0)上的解析式,再結(jié)合f(0)=0得出f(x)在定義域上的解析式;(2)分離參數(shù)可得a≥2 ﹣2x,利用換元法求出右側(cè)函數(shù)的最大值即可得出a的范圍;(3)討論a的范圍,判斷h(x)的單調(diào)性,從而可得h(x)的最小值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個(gè)為偶就為偶,兩個(gè)為奇才為奇才能正確解答此題.

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A. 平面平面ABCD

B. 直線BE,CF相交于一點(diǎn)

C. EF//平面BGD

D. 平面BGD

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