Question

求證：（1）cosθ+cosφ=2cos

θ+φ

2

•cos

θ-φ

2

     （2）3+cos4α-4cos2α=8sin⁴α

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)恒等式的證明

專題：證明題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）令

θ+φ

2

=α，

θ-φ

2

=β，則θ=α+β，φ=α-β，再由兩角和差的余弦公式，化簡(jiǎn)即可得證；
（2）運(yùn)用二倍角的余弦公式，結(jié)合完全平方公式，化簡(jiǎn)即可得證．

解答： 證明：（1）令

θ+φ

2

=α，

θ-φ

2

=β，則θ=α+β，φ=α-β，
即有cosθ+cosφ=cos（α+β）+cos（α-β）=cosαcosβ-sinαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ
=2cosαcosβ=2cos

θ+φ

2

•cos

θ-φ

2

；
（2）3+cos4α-4cos2α=3+2cos²2α-1-4cos2α
=2（cos²2α-2cos2α+1）
=2（cos2α-1）²=2×（2sin²α）²=8sin⁴α，
即3+cos4α-4cos2α=8sin⁴α．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等式的證明，主要考查二倍角公式和兩角和差的余弦公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．