已知雙曲線的一條漸近線方程是
,它的一個焦點(diǎn)在拋物線
的準(zhǔn)線上,點(diǎn)
是雙曲線
右支上相異兩點(diǎn),且滿足
為線段
的中點(diǎn),直線
的斜率為
(1)求雙曲線的方程;
(2)用表示點(diǎn)
的坐標(biāo);
(3)若,
的中垂線交
軸于點(diǎn)
,直線
交
軸于點(diǎn)
,求
的面積的取值范圍.
(1);(2)
;(3)
解析試題分析:(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程只需找到兩個關(guān)于的兩個等式,通過解方程即可得到
的值,從而得到雙曲線方程.
(2)由直線AB的方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去y可得關(guān)于x的一個一元二次方程,判別式必須滿足大于零,再由韋達(dá)定理可表示出點(diǎn)D的坐標(biāo),又根據(jù)即可用k表示點(diǎn)D的縱坐標(biāo).從而可求出點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)的中垂線交
軸于點(diǎn)
,直線
交
軸于點(diǎn)
求
的面積.通過直線AB可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo),又由線段AB的中垂線及中點(diǎn)D的坐標(biāo),可以寫出中垂線的方程,再令y=0,即可求出點(diǎn)M.以MN長為底邊,高為點(diǎn)D的縱坐標(biāo),即可求出面積的表達(dá)式.再用最值的求法可得結(jié)論.
試題解析:(1)雙曲線
的方程為
;
(2)方法一:
設(shè)直線的方程為
代入方程
得
當(dāng)
時記兩個實(shí)數(shù)根為
則
∴的方程為
把
代入得
下求的取值范圍:法一:由
得
即
而所以
化簡得
法二:在中令
得
即所以
再結(jié)合 得
;
方法二:兩式相減得
(3)由(2)可知方程中令
得
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
由
得
∴
考點(diǎn):1.雙曲線的性質(zhì).2.直線與雙曲線的位置關(guān)系.3.三角形的面積的求法.4.最值的求法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為
,以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)P(0,1),Q(0,2),設(shè)M,N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點(diǎn),直線PM與QN相交于點(diǎn)T.求證:點(diǎn)T在橢圓C上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知A,B,C是橢圓W:+y2=1上的三個點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積;
(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
己知橢圓C:(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),點(diǎn)A(2,0)在橢圓C上,過F點(diǎn)的直線
與橢圓C交于不同兩點(diǎn)
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線斜率為1,求線段
的長;
(3)設(shè)線段的垂直平分線交
軸于點(diǎn)P(0,y0),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn)、
為雙曲線
:
的左、右焦點(diǎn),過
作垂直于
軸的直線,在
軸上方交雙曲線
于點(diǎn)
,且
.圓
的方程是
.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上任意一點(diǎn)
作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為
、
,求
的值;
(3)過圓上任意一點(diǎn)
作圓
的切線
交雙曲線
于
、
兩點(diǎn),
中點(diǎn)為
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C1:=1,橢圓C2以C1的短軸為長軸,且與C1有相同的離心率.
(1)求橢圓C2的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓C2相交于不同的兩點(diǎn)A、B,已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)Q(0,y0)在線段AB的垂直平分線上,且=4,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知F1,F2分別為橢圓C1:=1(a>b>0)的上下焦點(diǎn),其中F1是拋物線C2:x2=4y的焦點(diǎn),點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn),且|MF1|=
.
(1)試求橢圓C1的方程;
(2)與圓x2+(y+1)2=1相切的直線l:y=k(x+t)(t≠0)交橢圓于A,B兩點(diǎn),若橢圓上一點(diǎn)P滿足,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為
,左右焦點(diǎn)分別為
,且
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓
相交于
兩點(diǎn),且
,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)
到直線
的距離是
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線與拋物線
交于
兩點(diǎn),設(shè)線段
的中垂線與
軸交于點(diǎn)
,求
的取值范圍.
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