Question

（1991•云南）如圖：已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=

6

，M是CC₁的中點(diǎn)．求證：AB₁⊥A₁M．

Answer 1

分析：要證，只要A₁M⊥AC₁，B₁C₁⊥AC₁ 即證MA₁⊥AB₁C₁，從而可證AB₁⊥A₁M

解答：證明：連接AC₁
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=

6

，
∴A1M=

3+( 6 2 )2

=

3 3

2

Rt△A₁C₁M中，tan∠A₁MC₁=

A1C1

MC1

=

3

6 2

=

2

Rt△AA₁C₁中，tan∠AC₁A₁=

AA1

A1C1

=

6

3

=

2

∴tan∠MA₁C₁=tan∠AC₁A₁ 即∠AC₁A₁=∠A₁MC₁     
∴A₁M⊥AC₁
∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥CC₁且AC₁∩CC₁=C₁
∴B₁C₁⊥平面AA₁C₁且MA₁?面AA₁C₁
∴B₁C₁⊥MA₁，又AC₁∩B₁C₁是=C₁
根據(jù)線面垂直的判定定理可知MA₁⊥平面AB₁C₁
∴AB₁⊥A₁M

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，屬于中檔試題