Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，且PA=AD．

（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）設(shè)二面角D﹣AE﹣C為60°，且AP=1，求D到平面AEC的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD交AC于O點(diǎn)，則O為BD的中點(diǎn)，連結(jié)OE，

∵E為PD的中點(diǎn)，∴PB∥OE

又∵OE平面AEC，PB平面AEC

∴PB∥平面AEC；

（2）證明：（幾何法）：∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AD，PA⊥CD

∴在直角△PAD中，PA=ADE為PD的中點(diǎn)，

∴AE⊥PD

又∵底面ABCD為矩形，∴AD⊥CD，

∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD

∵AE平面PAD，∴AE⊥CD，∵PD∩CD=D，

∴AE⊥平面PCD．

（向量法）：由題知 四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，

如圖以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz

設(shè)AB=a，AD=b，則

∴ ，

∴ ）

∴AE⊥DC，AE⊥DP，

∵DP∩DC=D，∴AE⊥平面PCD

（3）解：由（2）知平面DAE的法向量是 ，

∵AP=1，∴ ，

∴ ，

設(shè)平面AEC的法向量是 ，

∴ ，

∴ ，令z=1，得 ，∴

∴ ，

解得

∵ ，

∴D到平面AEC的距離

【解析】（1）連接BD交AC于O點(diǎn)，則O為BD的中點(diǎn)，從而PB∥OE，由此能證明PB∥平面AEC．（2）（幾何法）：推導(dǎo)出PA⊥AD，PA⊥CD，從而AE⊥PD，再推導(dǎo)出AD⊥CD，從而CD⊥平面PAD，進(jìn)而AE⊥CD，由此能證明AE⊥平面PCD．（2）（向量法）：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，利用向量法能證明AE⊥平面PCD．（3）求出平面DAE的法向量和平面AEC的法向量，利用向量法能求出D到平面AEC的距離．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．