已知橢圓:的離心率為,過右焦點且斜率為的直線交橢圓于兩點,為弦的中點,為坐標(biāo)原點.
(1)求直線的斜率;
(2)求證:對于橢圓上的任意一點,都存在,使得成立.
(1)
(2) 顯然與可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對于這一平面內(nèi)的向量,有且只有一對實數(shù),使得等式成立.,那么設(shè)出點M的坐標(biāo),結(jié)合向量的坐標(biāo)關(guān)系來證明。
解析試題分析:解:(1)設(shè)橢圓的焦距為,因為,所以有,故有.
從而橢圓的方程可化為:
① 知右焦點的坐標(biāo)為(),據(jù)題意有所在的直線方程為:. ②由①,②有:.
③設(shè),弦的中點,由③及韋達(dá)定理有:
所以,即為所求. 5分
(2)顯然與可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對于這一平面內(nèi)的向量,有且只有一對實數(shù),使得等式成立.設(shè),由(1)中各點的坐標(biāo)有:
,故. 7分
又因為點在橢圓上,所以有整理可得:
. ④
由③有:.所以
⑤又點在橢圓上,故有 .
⑥將⑤,⑥代入④可得:. 11分
所以,對于橢圓上的每一個點,總存在一對實數(shù),使等式成立,且.
所以存在,使得.也就是:對于橢圓上任意一點 ,總存在,使得等式成立. 13分
考點:橢圓的方程和性質(zhì),以及向量的加減法
點評:解決的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用,屬于中檔題。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
橢圓C以拋物線的焦點為右焦點,且經(jīng)過點A(2,3).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若分別為橢圓的左右焦點,求的角平分線所在直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點O為極點x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 曲線C1的極坐標(biāo)方程為:
(1)求曲線C1的普通方程
(2)曲線C2的方程為,設(shè)P、Q分別為曲線C1與曲線C2上的任意一點,求|PQ|的最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,焦點在軸上,且過點.
(Ⅰ)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)與圓相切的直線交拋物線于不同的兩點若拋物線上一點滿足,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知中心在原點,焦點在x軸上,離心率為的橢圓過點(,).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不過原點的直線與該橢圓交于、兩點,滿足直線,,的斜率依次成等比數(shù)列,求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在直接坐標(biāo)系xOy中,直線L的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為.
(1)已知在極坐標(biāo)(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,點P的極坐標(biāo)為(4,),判斷點P與直線L的位置關(guān)系;
(2)設(shè)點Q是曲線C上的一個動點,求它到直線l的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,直角坐標(biāo)系中,一直角三角形,,B、D在軸上且關(guān)于原點對稱,在邊上,BD=3DC,△ABC的周長為12.若一雙曲線以B、C為焦點,且經(jīng)過A、D兩點.
⑴ 求雙曲線的方程;
⑵ 若一過點(為非零常數(shù))的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點的兩點、,且,問在軸上是否存在定點,使?若存在,求出所有這樣定點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)命題p:函數(shù)在上是增函數(shù);命題q:方程有兩個不相等的負(fù)實數(shù)根。求使得pq是真命題的實數(shù)對為坐標(biāo)的點的軌跡圖形及其面積。
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