【題目】如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范圍．

【答案】見解析

【解析】

解 方法一 設(shè)f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，])．

顯然當(dāng)且僅當(dāng)a屬于f(x)的值域時，a＝f(x)有解．

因?yàn)閒(x)＝－(1－sin2x)＋sinx

＝(sinx＋)2－，

且由x∈(0，]知sinx∈(0,1]．

易求得f(x)的值域?yàn)?－1,1]．

故a的取值范圍是(－1,1]．

方法二 令t＝sinx，由x∈(0，]，可得t∈(0,1]．

將方程變?yōu)閠2＋t－1－a＝0.

依題意，該方程在(0,1]上有解．

設(shè)f(t)＝t2＋t－1－a.

其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸t＝－，

如圖所示．

因此f(t)＝0在(0,1]上有解等價于

即所以－1<a≤1.

故a的取值范圍是(－1,1]．

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C. ①—綜合法，②—反證法 D. ①—綜合法，②—分析法

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