Question

【題目】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.

（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：

（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.

Answer 1

【答案】(1)見詳解；(2) 3或.

【解析】

可用解析法和幾何法證明。解析法可設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，然后求出A，B兩點(diǎn)處的切線，兩條切線交于直線之上，所以交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

聯(lián)立方程可解和的關(guān)系。之后用兩點(diǎn)式求出直線方程，最后根據(jù)直線方程求出它所過的定點(diǎn).(2)應(yīng)用四邊形面積公式，代入化簡(jiǎn)出關(guān)于和的對(duì)稱式。然后分情況討論求解。如果不知道四面下面積公式則可以將四邊形分成兩個(gè)三角形求面積之后做和，但會(huì)稍微麻煩一些。（此題若用向量積的概念則更為容易）

(1)證明：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，因?yàn)?/span>，所以，

則切線DA為：---------①，切線DB為：--------②，

代入得，得，因?yàn)?/span>故消去得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，

因?yàn)?/span>DA和DB的交點(diǎn)D為直線上的動(dòng)點(diǎn)，所以有，，

直線AB為，點(diǎn)A，B在曲線上，則有，整理得，即.當(dāng)，時(shí)無論,取何值時(shí)，此等式均成立。因此直線AB過定點(diǎn)，得證。

(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為G，由題得G點(diǎn)坐標(biāo)為，則，又.由題意知，即即.代入得整理得.

因，故.所以或.

由第一問中，為這里的為D點(diǎn)坐標(biāo),然而,故

，所以，又因?yàn)?/span>.所以。即D坐標(biāo)為.

那么,.

設(shè)為與的夾角，那么有

代入進(jìn)行化簡(jiǎn)有

若，則.

若，則,

代入有.

所以四邊形ADBE的面積為3或.