Question

函數f（x）=x²+bln（x+1）-2x，b∈R
（Ⅰ）當b=

3

2

時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）+2x，若b≥2，求證：對任意x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁≥x₂，都有g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）．

Answer 1

分析：（1）當b=

3

2

時，函數解析式為f(x)=x2+

3

2

ln(x+1)-2x，定義域為（-1，+∞）．然后利用求導數的方法，得x變化時，f'（x），f（x）的變化情況的表格，由表格可得到函數f（x）的極大值和極小值；
（2）對函數f（x）求導數，得f′(x)=

2x2+b-2

x+1

，因為b≥2，所以f'（x）≥0，得到f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上是增函數，從而得到對任意x₁，x₂∈（-1，+∞），當x₁≥x₂時，必定f（x₁）≥f（x₂），再結合g（x）=f（x）+2x化簡整理，即得g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂），命題得證．

解答：解：（1）當b=

3

2

時，函數解析式為f(x)=x2+

3

2

ln(x+1)-2x，定義域為（-1，+∞）
∴對函數求導數，得f′(x)=2x+

3

2(x+1)

-2，
令2x+

3

2(x+1)

-2=0，解得x1=-

1

2

或x2=

1

2

…（2分）
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	(-1，- 1 2 )	- 1 2	(- 1 2 ， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數	極大值	減函數	極小值	增函數

由表格可得：當x=-

1

2

時，函數f（x）的極大值為f（-

1

2

）=

5

4

-

3

2

ln2；當x=

1

2

時，函數f（x）的極小值為f（

1

2

）=-

3

4

+

3

2

ln

3

2

；  …（6分）
（2）∵g（x）=f（x）+2x，f（x）=x²+bln（x+1）-2x，∴g（x）=x²+bln（x+1），f（x）=g（x）-2x
∵f（x）=x²+bln（x+1）-2x，所以f′(x)=2x+

b

x+1

-2=

2x2+b-2

x+1

，其中x∈（-1，+∞）
因為b≥2，所以f'（x）≥0（當且僅當b=2，x=0時等號成立），所以f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上是增函數，
從而對任意x₁，x₂∈（-1，+∞），當x₁≥x₂時，f（x₁）≥f（x₂），
∴g（x₁）-2x₁≥g（x₂）-2x₂，整理得g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）…（10分）
所以對任意x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁≥x₂，都有g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）．…（12分）

點評：本題給出一個含有字母參數的基本初等函數，討論了函數的極值和單調性，著重考查了利用導數研究函數的單調性與極值和用函數證明恒等式的知識點，屬于基礎題．