Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，求在區(qū)間上的最大值；
（III）設(shè)函數(shù)，（），試討論函數(shù)與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

Answer 1

（Ⅰ）∵，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211626688470.png" style="vertical-align:middle;" />．          1分
∴．                  （2分）
∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．        （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，的最大值；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，也即該函數(shù)在上的最大值，此時(shí)的最大值；
∴在區(qū)間上的最大值…………………（8分）
（Ⅲ）討論函數(shù)與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即討論方程在上根的個(gè)數(shù)．
該方程為，即．
只需討論方程在上根的個(gè)數(shù)， ……………………（9分）
令，．
因，，令，得，
當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),． ∴，
當(dāng)時(shí),； 當(dāng)時(shí),， 但此時(shí)，且以軸為漸近線．
如圖構(gòu)造的圖象，并作出函數(shù)的圖象．
①當(dāng)即時(shí)，方程無根，沒有公共點(diǎn)；
②當(dāng)即時(shí)，方程只有一個(gè)根，有一個(gè)公共點(diǎn)；
③當(dāng)即時(shí)，方程有兩個(gè)根，有兩個(gè)公共點(diǎn)．

(I)直接求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，求其增減區(qū)間即可.
（II）在第（I）問的基礎(chǔ)上對(duì)a進(jìn)行討論求極值，最值.
（III）可以構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)研究其圖像特征，作出草圖，然后數(shù)形結(jié)合求解.