Question

12．設(shè)函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{x}+a$為定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（a+1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義法證明．

Answer 1

分析 （1）利用$f（x）=x+\frac{1}{x}+a$為定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，f（-x）=-f（x），即可求實數(shù)a的值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

解答 解：（1）∵$f（x）=x+\frac{1}{x}+a$為定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴$-x-\frac{1}{x}+a=-（x+\frac{1}{x}+a）$，∴a=0．
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
證明：設(shè)1＜x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}-{x_2}+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}={x_1}-{x_2}-\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$．
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，$\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，要求熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的定義及證明過程．