(2012•河北模擬)一變壓器的鐵芯截面為正十字型(兩個全等的長方形,它們完全重合,把其中一個長方形繞中點旋轉(zhuǎn)90°后而得的組合圖叫正十字型),為保證所需的磁通量,要求十字應(yīng)具有4
5
cm2的面積,問應(yīng)如何設(shè)計十字型寬x及y,才能使其外接圓的周長最短,這樣可使繞在鐵芯上的銅線最節(jié)。
分析:根據(jù)面積求出長,然后表示出外接圓的周長,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值即可.
解答:解:設(shè)外接圓的半徑為R cm,則 R=
1
2
x2+y2

由2xy-x2=4
5
,得 y=
4
5
+x2
2x

要使外接圓的周長最小,需要R取最小值,也即R2取最小值.
設(shè) f(x)=R2=
5
16
x2
+
5
x2
+
5
2
(0<x<2R),則 f'(x)=
5
8
x-
10
x3

令f'(x)=0 解得x=2 或x=-2(舍去).
當(dāng)0<x<2 時f'(x)<0;當(dāng)x>2 時,f'(x)>0.
因此當(dāng)x=2時,y=
5
+1
,R2最小,即R最小,周長最小為π
10+2
5
cm.
點評:本題通過設(shè)間接變量,由題意得到一個函數(shù),再確定它的最小值.間接處理所研究的目標(biāo),并用導(dǎo)數(shù)研究目標(biāo)函數(shù)的最小值,是解本題的關(guān)鍵所在.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•河北模擬)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-2
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)+g(x)有兩個不同的極值點x1,x2(x1<x2)且x2-x1>ln2,求實數(shù)a的取值范圍.

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(2012•河北模擬)設(shè)全集U=R,A={x|2(x-1)2<2},B={x|log
1
2
(x2+x+1)>-log2(x2+2)
},則圖中陰影部分表示的集合為( 。

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(2012•河北模擬)如圖是一個程序框圖,該程序框圖輸出的結(jié)果是
4
5
,則判斷框內(nèi)應(yīng)該填入的是( 。

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(2012•河北模擬)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•河北模擬)定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足:①f(2x)=cf(x)(c為正常數(shù));②當(dāng)2≤x≤4時,f(x)=1-(x-3)2,若函數(shù)f(x)的圖象上所有極大值對應(yīng)的點均落在同一條直線上,則c等于( 。

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