Question

【題目】如圖，在三棱柱中，底面ABC，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，E，F分別為BC，的中點(diǎn)．

1求證：平面平面；

2求三棱錐的體積；

3在線段上是否存在一點(diǎn)M，使直線MF與平面沒(méi)有公共點(diǎn)？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

1推導(dǎo)出，，由，得，從而平面，由此能證明平面平面C.

2由，能求出三棱錐的體積．

3取中點(diǎn)M，連結(jié)MF，推導(dǎo)出，由此能求出線段上是否存在中點(diǎn)M，使直線MF與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，此時(shí)．

證明：1在三棱柱中，

因?yàn)?/span>為等邊三角形，E為BC中點(diǎn)，

所以

又平面ABC，平面ABC，所以．

因?yàn)?/span>，所以

因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面C.

所以平面平面C.

2，

取的中點(diǎn)D，連結(jié)DE，則，，

所以平面，

又F是的中點(diǎn)，所以，

所以

，

即三棱錐的體積為

3在線段上存在一點(diǎn)M，滿足題意．

理由如下：

取中點(diǎn)M，連結(jié)

因?yàn)?/span>F是的中點(diǎn)，所以MF是的中位線，

所以E.

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面，

即直線MF與平面沒(méi)有公共點(diǎn)

此時(shí)