如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面底面,且為等腰直角三角形,,、分別為、的中點(diǎn).
(1)求證://平面 ;
(2)若線段中點(diǎn)為,求二面角的余弦值.
(1)證明見(jiàn)解析(2)
解析試題分析:(1)要證//平面,可證明與平面內(nèi)的一條直線平行,邊結(jié)由中位線定理得這條直線就是.(2)以中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系, 由側(cè)面底面可得為平面的法向量,寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)與平面內(nèi)兩條直線所在直線的方向向量從而可求出平面的法向量,求二面角的余弦值可用向量法.
試題解析:(1)證明:連接,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0f/a/1stfc2.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形,為的中點(diǎn),所以過(guò)點(diǎn),且也是 的中點(diǎn),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/94/e/1qxjk3.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn),所以中,是中位線,所以 ,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2d/7/qch0j.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,所以平面,
(2)取的中點(diǎn),建如圖坐標(biāo)系,則相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
所以
因?yàn)閭?cè)面底面,為平面的法向量,
設(shè) 為平面的法向量,
則由∴
∴
設(shè)二面角的大小,則為銳角,
則.
即二面角的余弦值為.
考點(diǎn):1、線面平行的證明;2、二面角的求法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,多面體ABC-A1B1C1中,三角形ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,AA1∥BB1∥CC1,AA1⊥平面ABC,AA1=BB1=2CC1=4.
(1)若O是AB的中點(diǎn),求證:OC1⊥A1B1;
(2)在線段AB1上是否存在一點(diǎn)D,使得CD∥平面A1B1C1,若存在,確定點(diǎn)D的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,平面平面,四邊形為矩形,.為的中點(diǎn),.
(1)求證:;
(2)若與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在幾何體中,點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的正投影分別為A,B,C,且,E為中點(diǎn),.
(1)求證;CE∥平面,
(2)求證:平面平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,垂直于底面ABCD,PA=AD=AB=2BC=2,M,N分別為PC,PB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PB⊥DM;
(Ⅱ)求點(diǎn)B到平面PAC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,已知四邊形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,PD∥EA,AD=PD=2EA=2,F(xiàn),G,H分別為BP,BE,PC的中點(diǎn)。
(Ⅰ)求證:平面FGH⊥平面AEB;
(Ⅱ)在線段PC上是否存在一點(diǎn)M,使PB⊥平面EFM?若存在,求出線段PM的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,O為AC與BD的交點(diǎn),BB1=,M是線段B1D1的中點(diǎn).
(1)求證:BM∥平面D1AC;
(2)求證:D1O⊥平面AB1C;
(3)求二面角B-AB1-C的大。
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