Question

已知f(x)=ex-t(x+1).

（1）若f(x)≥0對一切正實數x恒成立，求t的取值范圍；

（2）設，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1≠x2)是曲線y=g(x)上任意兩點，若對任意的t≤-1，直線AB的斜率恒大于常數m，求m的取值范圍；

（3）求證：(n∈N*).

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）對函數求導數，分離變量得，再設，用導數法判斷的單調性、極值，從而求出的取值范圍；（2）設x1、x2是任意的兩實數，且x1<x2，

，則，構造函數，則函數在上是增函數，即恒成立，即對任意的t≤-1，x∈R，恒成立，再用均值不等式求的最小值，從而求得；（3）由（1）知，，得，令，放縮得，把

取，則

取，則

而用導數法

（1）(x>0)恒成立.

設(x≥0)，則，

∴在單調遞增，（x=1時取等號），

∴t≤1 4分.

（2）設x1、x2是任意的兩實數，且x1<x2，

，故，

設，則F(x)在R上單增，（7分）

即恒成立.

即對任意的t≤-1，x∈R，恒成立.

而

故m<3.（9分）

（3）由（1）知，

取，則

∴(n∈N*).（14分）

考點：導數法，分離變量法，放縮法證明不等式.