Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對一切n∈N^*，點(diǎn)（n，

Sn

n

）都在函數(shù)f（x）=x+

an

2x

的圖象上．
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃，并歸納出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）將數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁）…，分別計(jì)算各個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）設(shè)A_n為數(shù)列{

an-1

an

}的前n項(xiàng)積，若不等式A_n

an+1

＜f（a）-

an+3

2a

對一切n∈N^*都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，

Sn

n

=n+

an

2n

即Sn=n2+

1

2

an．分別令n=1，n=2，n=3，代入可求a₁，a₂，a₃，進(jìn)而猜想a_n
（2）由a_n=2n可得數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號，故 b₁₀₀是第25組中第4個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號中所有第1個(gè)數(shù)，所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)所有第4個(gè)數(shù)分別組成都是等差數(shù)列，公差均為20．故各組第4個(gè)括號中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80．代入可求
（3）因?yàn)?span id="44q4sim" class="MathJye">

an-1

an

=1-

1

an

，An

an+1

=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)

2n+1

f(a)-

an+3

2a

=a+

an

2a

-

an+3

2a

=a-

3

2a

，若(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)

2n+1

＜a-

3

2a

成立
設(shè)g(n)=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)

2n+1

，則只需[g(n)]max＜a-

3

2a

即可利用g（n）的單調(diào)性可求其最大值
，從而可求a的范圍

解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)(n，

Sn

n

)在函數(shù)f(x)=x+

an

2x

的圖象上，
故

Sn

n

=n+

an

2n

，所以Sn=n2+

1

2

an．
令n=1，得a1=1+

1

2

a1，所以a₁=2；
令n=2，得a1+a2=4+

1

2

a2，所以a₂=4；
令n=3，得a1+a2+a3=9+

1

2

a3，所以a₃=6．
由此猜想：a_n=2n．
（2）因?yàn)閍_n=2n（n∈N^*），所以數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號，故 b₁₀₀是第25組中第4個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20．同理，由各組第4個(gè)括號中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20．故各組第4個(gè)括號中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80．注意到第一組中第4個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和是68，
所以 b₁₀₀=68+24×80=1988．又b₅=22，所以b₅+b₁₀₀=2010
（3）因?yàn)?span id="b4ai9xv" class="MathJye">

an-1

an

=1-

1

an

，故An=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)，
所以An

an+1

=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)

2n+1

．
又f(a)-

an+3

2a

=a+

an

2a

-

an+3

2a

=a-

3

2a

，
故An

an+1

＜f(a)-

an+3

2a

對一切n∈N^*都成立，就是(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)

2n+1

＜a-

3

2a

對一切n∈N^*都成立．
設(shè)g(n)=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)•…•(1-

1

an

)

2n+1

，則只需[g(n)]max＜a-

3

2a

即可．
由于

g(n+1)

g(n)

=(1-

1

an+1

)•

2n+3

2n+1

=

2n+1

2n+2

•

2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1，
所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是單調(diào)遞減，于是[g(n)]max=g(1)=

3

2

．
令

3

2

＜a-

3

2a

，即 

(a- 3 )(2a+ 3 )

a

＞0，解得-

3

2

＜a＜0，或a＞

3

．
綜上所述，使得所給不等式對一切n∈N^*都成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-

3

2

，0)∪(

3

，+∞)．

點(diǎn)評：本題綜合考查了利用函數(shù)的解析式求解數(shù)列的遞推公式進(jìn)而求解數(shù)列的項(xiàng)，等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，及利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（�。╉�(xiàng)問題的求解，屬于函數(shù)與數(shù)列知識的綜合應(yīng)用的考查