Question

在多面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，三角形CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF=

1

2

BC．
（Ⅰ）證明：FO∥平面CDE；
（Ⅱ）設BC=2

3

，CD=2，OE=

3

，求EC與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證FO∥平面CDE，只需通過平行四邊形來證FO∥EM即可．
（Ⅱ）由EG⊥平面ABCD，得到∠EGC為EC與底面ABCD所成角，△EOM為正三角形及點E到平面ABCD的距離為由sin∠ECG=

EG

EC

=

3

4

求解．

解答：解：（Ⅰ）證明：取CD中點M，連接OM．（1分）
在矩形ABCD中，OM

∥ .

.

1

2

BC，又EF

∥ .

.

1

2

BC，則EF

∥ .

.

OM，（3分）
連接EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形．
∴FO∥EM（5分）
又∵FO?平面CDE，且EM?平面CDE，
∴FO∥平面CDE（6分）
（Ⅱ）連接FM，由（Ⅰ）和已知條件，在等邊△CDE中，
CM=DM，EM⊥CD且EM=

3

，又EF=

1

2

BC=

3

．
因此平行四邊形EFOM為菱形，（8分）
過E作EG⊥OM于G
∵CD⊥EM，CD⊥OM，
∴CD⊥平面EOM，
∴CD⊥EG
因此EG⊥平面ABCD
所以∠EGC為EC與底面ABCD所成角（10分）
在△EOM中OM=ME=OE=

3

，則△EOM為正三角形．
∴點E到平面ABCD的距離為EG=

3

2

，（12分）
所以sin∠ECG=

EG

EC

=

3

4

即EC與平面CDF所成角的正弦值為

3

4

．（14分）

點評：本題考查了用平行四邊形實現平行關系的轉化，線面平行的判斷定理，線線垂直與面面垂直關系的關系及線面角的求法，考查很全面．