【題目】設(shè)雙曲線的兩支為(如圖)，正三角形PQR的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上。

（1）求證：P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上；

（2）設(shè)P(-1，-1)在上，Q、R在上。求頂點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)。

【答案】（1）見解析；（2），

【解析】

(1)用反證法.

假設(shè)正△PQR的三頂點(diǎn)P、Q、R位于同一支如上，其坐示分別的，不妨設(shè)0.則一定有.于是，

.

因此.

這說明△PQR是鈍角三角形，與△PQR為正三角形矛盾.故P、Q、R不能位于同一支上.

(2)設(shè)Q、R的坐標(biāo)為，這時(shí)QR邊上的高線方程為.

它必過線段QR的中點(diǎn)，因此QR的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程(1)，

于是有.此即 ..

，上式方括號(hào)中的式子明顯大于0，則.故.

于是，Q的坐標(biāo)為.而R的坐標(biāo)為，這說明Q、R關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

PQ、PR所在的直線分別為過P點(diǎn)與y=x交成30°角的相互對(duì)稱的兩條直線，易見其傾斜角分別為75°和15°.不妨設(shè)PQ的傾斜角為75°，這時(shí)它的方程為

即 .將其代入雙曲線方程，解得Q的坐標(biāo)為，由對(duì)稱性知R的坐標(biāo)為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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