(2012•包頭一模)在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點,PA=2,AB=1.
(Ⅰ)求四棱錐P-ABCD的體積V;
(Ⅱ)若F為PC的中點,求證:平面PAC⊥平面AEF.
分析:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,故BC=
3
,AC=2
,由此能求出四棱錐P-ABCD的體積V.
(Ⅱ)由PA⊥平面ABCD,知PA⊥CD,由此能證明平面PAC⊥平面AEF.
解答:解:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,
BC=
3
,AC=2
…(2分)
在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,CD=2
3
…(4分)
S四邊形ABCD=
1
2
AB•BC+
1
2
AC•CD=
1
2
×1×
3
+
1
2
×2×2
3
=
5
2
3

則V=
1
3
×
5
2
3
×2=
5
3
3
…(6分)
證:(Ⅱ)∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥CD…(7分)
又AC⊥CD,PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC,…(8分)
∵E、F分別是PD、PC的中點,∴EF∥CD
∴EF⊥平面PAC…(10分),
∵EF?平面AEF,
∴平面PAC⊥平面AEF…(12分)
點評:本題考查棱錐的體積的求法,考查平面與平面垂直的證明,解題時要認真審題,注意合理地化立體問題為平面問題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•包頭一模)下列命題錯誤的是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•包頭一模)已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)與拋物線y2=8x有 一個公共的焦點F,且兩曲線的一個交點為P,若|PF|=5,則雙曲線方程為
x2-
y2
3
=1
x2-
y2
3
=1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•包頭一模)函數(shù)f(x)=sin(ωx+?)(其中|?|<
π
2
)的圖象如圖所示,為了得到y(tǒng)=sinωx的圖象,只需把y=f(x)的圖象上所有點( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•包頭一模)在平面直角坐標系xoy中,曲線C1的參數(shù)方程為 
x=acosφ
y=bsinφ
(a>b>0,?為參數(shù)),在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2是圓心在極軸上,且經(jīng)過極點的圓.已知曲線C1上的點M(1,
3
2
)對應的參數(shù)φ=
π
3
,曲線C2過點D(1,
π
3
).
(Ⅰ)求曲線C1,C2的直角坐標方程;
(Ⅱ)若點A(ρ 1,θ),B(ρ 2,θ+
π
2
) 在曲線C1上,求
1
ρ
2
1
+
1
ρ
2
2
的值.

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