給出下列命題:
①f(x)是定義在[-1,1]上的偶函數(shù),且在[-1,0]上是增函數(shù),若θ∈(
π
4
,
π
2
)
,則f(sinθ)>f(cosθ);
②函數(shù)y=2cos(
π
3
-2x)
的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+
π
6
,kπ+
3
](k∈Z)
;
③若f(x)=2cos2
x
2
-1,則f(x+π)=-f(x)對(duì)x∈R恒成立
;
④要得到函數(shù)y=sin(
x
2
-
π
4
)的圖象,只需將y=sin
x
2
的圖象向右平移
π
4
個(gè)單位

其中是真命題的有
②③
②③
(填寫所有真命題的序號(hào)).
分析:根據(jù)偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),可判斷f(sinθ)<f(cosθ),進(jìn)而得到①錯(cuò)誤;
根據(jù)余弦型函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)y=2cos(
π
3
-2x)
=2cos(2x-
π
3
)
的單調(diào)區(qū)間,比照后,可得到②正確;
利用降次升角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式,可判斷③正確;
利用函數(shù)圖象的平移變換法則,求出平移變換后函數(shù)的解析式,比照后,可得④錯(cuò)誤.
解答:解:若θ∈(
π
4
,
π
2
)
,則1>sinθ>cosθ>0,又由f(x)是定義在[-1,1]上的偶函數(shù),且在[-1,0]上是增函數(shù),故f(x)在[0,1]上是減函數(shù),故f(sinθ)<f(cosθ),故①錯(cuò)誤;
函數(shù)y=2cos(
π
3
-2x)
=2cos(2x-
π
3
)
,由2kπ≤2x-
π
3
≤2kπ+π,得kπ+
π
6
≤x≤kπ+
3
,(k∈Z)
,故函數(shù)y=2cos(
π
3
-2x)
的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+
π
6
,kπ+
3
](k∈Z)
,故②正確;
f(x)=2cos2
x
2
-1
=cosx,則f(x+π)=cos(x+π)=-cosx=-f(x)恒成立,故③正確;
y=sin
x
2
的圖象向右平移
π
4
個(gè)單位后,得到函數(shù)y=sin
x-
π
4
2
=sin(
x
2
-
π
8
)
的圖象,故④錯(cuò)誤
故答案為:②③
點(diǎn)評(píng):本題以命題的真假判斷為載體考查了命題的真假判斷與應(yīng)用,熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•廣西一模)已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對(duì)于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,當(dāng)x1,x2∈[0,3],且x1≠x2時(shí),都有
f(x1)-f(x2)x1-x2
>0
.給出下列命題:
①f(3)=0;
②直線x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸;
③函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為增函數(shù);
④函數(shù)y=f(x)在[-9,9]上有四個(gè)零點(diǎn).
其中所有正確命題的序號(hào)為
①②④
①②④
(把所有正確命題的序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•朝陽(yáng)區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a•2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
f(x),x>0
-f(x),x<0
給出下列命題:
①F(x)=|f(x)|; 
②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);
③當(dāng)a<0時(shí),若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,
其中所有正確命題的序號(hào)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),給出下列命題:
①f(0)=0;
②若f(x)在(0,+∞)上有最小值為-1,則f(x)在(-∞,0)上有最大值1;
③若f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),則f(x)在(-∞,-1]上為減函數(shù);
④若x>0,f(x)=x2-2x;則x<0時(shí),f(x)=-x2-2x.
其中所有正確的命題序號(hào)是
①②④
①②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖展示了一個(gè)由區(qū)間(0,1)到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程:區(qū)間(0,1)中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M,如圖①;將線段AB圍成一個(gè)圓,使兩端點(diǎn)A、B恰好重合,如圖②;再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中,使其圓心在y軸上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),在圖形變化過(guò)程中,圖①中線段AM的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于圖③中的弧ADM的長(zhǎng)度,如圖③.圖③中直線AM與x軸交于點(diǎn)N(n,0),設(shè)f(m)=n.
給出下列命題:
①f(
1
2
)=0;
②f(x)是偶函數(shù);
③f(x)在定義域上單調(diào)遞增;
④f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,0)對(duì)稱
則下列命題的正確的是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•資陽(yáng)一模)如圖展示了一個(gè)由區(qū)間(0,1)到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程:區(qū)間(0,1)中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M,如圖①;將線段AB圍成一個(gè)圓,使兩端點(diǎn)A、B恰好重合,如圖②;再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中,使其圓心在y軸上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),在圖形變化過(guò)程中,圖①中線段AM的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于圖③中的弧ADM的長(zhǎng)度,如圖③.圖③中直線AM與x軸交于點(diǎn)N(n,0),則m的象就是n,記作f(m)=n.

給出下列命題:
①f(
1
4
)=1;
②f(x)是奇函數(shù);
③f(x)在定義域上單調(diào)遞增;
④f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,0)對(duì)稱. 
則所有真命題的序號(hào)是
③④
③④
.(填出所有真命題的序號(hào))

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