【題目】已知橢圓的右焦點與短軸兩端點構(gòu)成一個面積為2的等腰直角三角形,為坐標(biāo)原點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點在橢圓上,點在直線上,且,求證:為定值;
(3)設(shè)點在橢圓上運動,,且點到直線的距離為常數(shù),求動點的軌跡方程.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】試題分析:(1)由橢圓的右焦點與短軸兩端點構(gòu)成一個面積為的等腰直角三角形,求出,可得橢圓方程;(2)設(shè),則的方程為:,由得點坐標(biāo),可證明.(3) 設(shè),由得 ,又點在橢圓上得:,從而化簡可得的軌跡方程.
試題解析:
解:(1)由條件可得,
橢圓的方程為.
(2)設(shè),則的方程為:,
由得:
所以
.
(3)設(shè),由得 ①
又點在橢圓上得: ②
聯(lián)立①②可得 , ③
由得,
即
可得,
將③代入得:
化簡得點軌跡方程為:.
點睛:本題考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,曲線與方程,直線與橢圓的位置關(guān)系以及定值問題,屬于中檔題目.證明定值問題,先設(shè)出點坐標(biāo),根據(jù)求出直線的方程,再根據(jù)點在上求出坐標(biāo), 證明為定值,利用兩點間距離公式代入坐標(biāo),根據(jù)點在曲線上兩元換一元,分子分母成倍數(shù)關(guān)系,即為定值.
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【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)當(dāng)(為自然對數(shù)的底數(shù))時,求的最小值;
(2)討論函數(shù)零點的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若為奇函數(shù),求的值;
(2)試判斷在內(nèi)的單調(diào)性,并用定義證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有些家用電器(如冰箱等)使用了氟化物,氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層,使臭氧含量呈指數(shù)型函數(shù)變化,在氟化物排放量維持某種水平時,具有關(guān)系式Q=Q0e-0.0025t,其中Q0是臭氧的初始量.
(1)隨著時間t的增加,臭氧的含量是增加的還是減少的?
(2)試估計多少年以后將會有一半的臭氧消失?(參考數(shù)據(jù):ln 0.5=-0.69)
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【題目】
在某校組織的“共筑中國夢”競賽活動中,甲、乙兩班各有6位選手參賽,在第一輪筆試環(huán)節(jié)中,評委將他們的筆試成績作為樣本數(shù)據(jù),繪制成如下圖所示的莖葉圖.為了增加結(jié)果的神秘感,主持人暫時沒有公布甲、乙兩班最后一位選手的成績.
(Ⅰ)求乙班總分超過甲班的概率;
(Ⅱ)主持人最后宣布:甲班第六位選手的得分是90分,乙班第六位選手的得分是97分.請你從平均分和方差的角度來分析兩個班的選手的情況.
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【題目】設(shè)f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),且f(x+2)=-f(x),當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x,則f(7.5)等于( )
A. 0.5 B. -0.5
C. 1.5 D. -1.5
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【題目】如圖,在四棱錐中,已知,,底面,且,,為的中點,在上,且.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:平面;
(3)求三棱錐的體積.
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【題目】對某校高二年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,隨機抽取名學(xué)生作為樣本,得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
(1)求出表中,及圖中的值;
(2)若該校高二學(xué)生有人,試估計該校高二學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于次的學(xué)生中任選人,求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.
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【題目】已知函數(shù)的定義域為,對任意實數(shù),都有.
(1)若, ,且,求, 的值;
(2)若為常數(shù),函數(shù)是奇函數(shù),
①驗證函數(shù)滿足題中的條件;
②若函數(shù)求函數(shù)的零點個數(shù).
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