【題目】已知函數(shù).(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),)
(1)討論的單調(diào)性,并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);
(2)設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn),證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.
【答案】(1)單調(diào)遞增,證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)在和上均為增函數(shù),并利用零點(diǎn)存在定理得出函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn),得出,再證明出也滿足方程,從而得出函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);
(2)由題意得出,利用這個(gè)關(guān)系式得出函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為,從而證明出題中結(jié)論.
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,,
所以,函數(shù)在、上單調(diào)遞增.
又,.
所以,函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn),即,即.
又,,
因此,函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn).
綜上所述,有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);
(2)因?yàn)?/span> ,所以點(diǎn)在曲線上.
由題設(shè),即.
所以直線的斜率
因?yàn)榍在點(diǎn)處切線的斜率是,
曲線在點(diǎn)處切線的斜率也是,
因此,曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,
(1)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=3,且對(duì)任意的x1∈[-1,2],總存在,使g(x1)-f(x2)=0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】第二屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)11月初在上海舉行了,在這屆進(jìn)口博覽會(huì)上,某高校派出的4人承擔(dān)了連續(xù)5天的志愿者服務(wù),若每天只安排一人且每人至少參加一天志愿服務(wù),則甲參加2天志愿服務(wù)的概率為________(結(jié)果用數(shù)值表示).
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【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件,為激發(fā)大家的學(xué)習(xí)興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng),這款軟件的激活碼為下列數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……,其中第一項(xiàng)是,接下來的兩項(xiàng)是,再接下來的三項(xiàng)是,……,以此類推,求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪,那么該軟件的激活碼是________。
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【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論:
①是偶函數(shù);②在區(qū)間單調(diào)遞減;
③在有個(gè)零點(diǎn);④的最大值為.
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )
A.①②④B.②④C.①④D.①③
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【題目】兩個(gè)函數(shù)在公共定義域上恒有,則稱這兩個(gè)函數(shù)是該區(qū)間上的“同步函數(shù)”.
(1)試判斷與是否為公共定義域上的“同步函數(shù)”?
(2)已知函數(shù)與是公共區(qū)域上的“同步函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)已知與在上是“同步函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為設(shè),若為正三角形且周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)使成立,若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)兩點(diǎn),記的面積記為,求的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列與滿足.
(1)若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若且數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列,求q的值,使數(shù)列也是等比數(shù)列;
(3)若且,數(shù)列有最大值M與最小值,求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C:的長(zhǎng)軸是短軸的兩倍,點(diǎn)在橢圓上.不過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),設(shè)直線OA、l、OB的斜率分別為、、,且、、恰好構(gòu)成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求橢圓C的方程.
(Ⅱ)試探究是否為定值?若是,求出這個(gè)值;否 則求出它的取值范圍.
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