Question

6．過點(diǎn)（0，1）且與雙曲線x²-y²=1只有一個公共點(diǎn)的直線有4條．

Answer 1

分析 由當(dāng)直線與漸近線不平行時，設(shè)直線為y=kx+1，代入雙曲線方程，由△=0，即可求得k=±$\sqrt{2}$，求得k的值，求得直線方程，當(dāng)直線與漸近線方程平行時，直線恒過點(diǎn)（0，1）且漸近線平行的直線與雙曲線有一個交點(diǎn)，成立，故過點(diǎn)（0，1）與雙曲線x²-y²=1有且只有一個公共點(diǎn)的直線有4條．

解答 解：設(shè)過點(diǎn)（0，1）與雙曲線x²-y²=1有且只有一個公共點(diǎn)的直線為y=kx+1．
根據(jù)題意：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y，整理得（1-k²）x²-2kx-2=0，
∵△=0，
∴k=±$\sqrt{2}$．
由雙曲線x²-y²=1為等軸雙曲線，漸近線方程為：y=±x，
由直線恒過點(diǎn)（0，1）且漸近線平行的直線與雙曲線有一個交點(diǎn)，
∴當(dāng)直線方程與漸近線平行時也成立．即直線方程為y±x-1=0，
故過點(diǎn)（0，1）與雙曲線x²-y²=1有且只有一個公共點(diǎn)的直線有4條．
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查等軸雙曲線的漸近線方程，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．