Question

設(shè)F₁、F₂分別雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P滿足|PF2|=|F1F2|，且cos∠PF1F2=

4

5

，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

A．3x±4y=0

B．3x±5y=0

C．4x±3y=0

D．5x±4y=0

Answer 1

分析：利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，從而得出正確答案．

解答：解：依題意|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一個(gè)等腰三角形，F(xiàn)₂在直線PF₁的投影A是線段PF₁中點(diǎn)，
由勾股定理知可知|PF₁|=2|F₁A|=2|F₁F₂|cos∠PF₁F₂=2×2c×

4

5

=

16c

5

，
根據(jù)雙曲定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a，
即

16c

5

-2c=2a，整理得c=

5

3

a，代入c²=a²+b²整理得4b=3a，求得

b

a

=

3

4

∴雙曲線漸近線方程為y=±

3

4

x，即3x±4y=0
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、三角與雙曲線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，突出了對(duì)計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)能力的考查，屬中檔題．