已知⊙O：x2+y2=4交x軸的負半軸于點P，直線y=-
1
2
x-1與⊙O另一交點為點Q，點S為圓上任一點．
（1）求弦PQ的長；
（2）當點S將上半圓分成1：2兩部分圓弧時，求直線PS的方程；
（3）求
PQ
•
PS
的最大值．
分析：（1）求弦PQ的長即先求出圓心到PQ的距離，然后根據(jù)勾股定理即可求解
（2）根據(jù)點S將上半圓分成1：2兩部分圓弧時，求出點S的坐標，即可求出直線PS的方程
（3）根據(jù)向量加法知
PS
=
PO
+
OS
，將
PQ
•
PS
轉(zhuǎn)化為
PO
•
PQ
+
OS
•
PQ
即可
解答：解：（1）直線方程為x+2y+2=0，則點O到直線的距離d=
2
5

∴弦PQ=2
4-
4
5
=
8
5
5
（4分）
（2）由題意得：P(1，
3
)或P(-1，
3
)，（6分）
直線PS的方程為y=
3
3
(x+2)或y=
3
(x+2)（8分）
（3）∵
PS
=
PO
+
OS

∴
PQ
•
PS
=(
PO
+
OS
)•
PQ
=
PO
•
PQ
+
OS
•
PQ

PO
•
PQ
=
32
5
，（12分）
當OS∥PQ時，
OS
•
PS
取得最大值，即
OS
•
PS
≤2×
8
5
5
=
16
5
5

∴
PQ
•
PS
的最大值是
32
5
+
16
5
5
．（16分）
點評：本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積與不等式的知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知⊙O：x2+y2=1和點M（4，2）．
（Ⅰ）過點M向⊙O引切線l，求直線l的方程；
（Ⅱ）求以點M為圓心，且被直線y=2x-1截得的弦長為4的⊙M的方程；
（Ⅲ）設(shè)P為（Ⅱ）中⊙M上任一點，過點P向⊙O引切線，切點為Q．試探究：平面內(nèi)是否存在一定點R，使得
PQPR
為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•江蘇模擬）已知⊙O：x2+y2=1和定點A（2，1），由⊙O外一點P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|．
（1）求實數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系；
（2）求線段PQ長的最小值；
（3）若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點，試求半徑最小值時⊙P的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知點A（-2，0），點P是⊙B：（x-2）2+y2=36上任意一點，線段AP的垂直平分線交BP于點Q，點Q的軌跡記為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）已知⊙O：x2+y2=r2（r＞0）的切線l總與曲線C有兩個交點M、N，并且其中一條切線滿足∠MON＞90°，求證：對于任意一條切線l總有∠MON＞90°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃州區(qū)模擬）已知⊙O：x2+y2=4及點A（1，3），BC為⊙O的任意一條直徑，則
AB
•
AC
=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知⊙O：x2+y2=25與⊙O1：x2+y2-6
2
x+6
2
y+11=0關(guān)于直線l對稱，則直線l被⊙O截得的線段長為（　�。�

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