Question

2．函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，且在[1，+∞）單調(diào)遞減，f（0）=0，則f（x+1）＞0的解集為（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （-1，1）
• C． （-∞，-1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由對(duì)稱(chēng)性可得f（2）=0，f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，討論x+1≥1，x+1＜1，運(yùn)用單調(diào)性，解不等式，最后求并集即可得到解集．

解答 解：由f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，f（0）=0，
可得f（2）=f（0）=0，
當(dāng)x+1≥1時(shí)，f（x+1）＞0，即為f（x+1）＞f（2），
由f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，可得：
x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①
當(dāng)x+1＜1即x＜0時(shí)，f（x+1）＞0，即為f（x+1）＞f（0），
由f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，可得：
x+1＞0，解得x＞-1，即有-1＜x＜0②
由①②，可得解集為（-1，1）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性的運(yùn)用：解不等式，主要考查單調(diào)性的定義的運(yùn)用和不等式的解法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．