【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的極值;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得與的單調(diào)區(qū)間相同,若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)若,求證:在上恒成立.
【答案】(1)極小值為,無(wú)極大值(2)不存在滿足題意的實(shí)數(shù).(3)見證明
【解析】
(1)當(dāng) 時(shí),可求導(dǎo)判斷單調(diào)性,從而確定極值;
(2)先求出的單調(diào)區(qū)間,假設(shè)存在,發(fā)現(xiàn)推出矛盾,于是不存在;
(3)若,令,求的單調(diào)性即可證明不等式成立.
解:(1)當(dāng) 時(shí),,
在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增
當(dāng) 時(shí),極小值為,無(wú)極大值
(2),令
則,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
若存在實(shí)數(shù),使得與的單調(diào)區(qū)間相同,
則,
此時(shí),與在上單調(diào)遞減矛盾,
所以不存在滿足題意的實(shí)數(shù).
(3),記.
,又在上單調(diào)遞增,且
知在上單調(diào)遞增,故.
因此,得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,,,分別是,,的中點(diǎn).
(1)求異面直線與所成角的余弦值;
(2)棱上是否存在點(diǎn),使得∥平面?請(qǐng)證明你的結(jié)論;
(3)求直線與平面所成角的余弦值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為奇函數(shù),為偶函數(shù),且.
(1)求及的解析式及定義域;
(2)如函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的范圍.
(3)若關(guān)于的方程有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,左頂點(diǎn)為,頂點(diǎn)為B.已知(為原點(diǎn)).
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為,圓同時(shí)與軸和直線相切,圓心在直線上,且,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】六個(gè)人按下列要求站成一排,分別有多少種不同的站法?
(1) 甲不站在兩端; (2) 甲 ,乙必須相鄰;
(3)甲 ,乙不相鄰. (4) 甲 ,乙之間恰有兩人
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.
(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m.經(jīng)測(cè)量,點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處,點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處(OC為河岸),tan∠BCO=.
(1)求新橋BC的長(zhǎng);
(2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年春節(jié)期間,我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況,在某高速公路收費(fèi)點(diǎn)記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù),統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過該收費(fèi)點(diǎn),它們通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如下圖所示,其中時(shí)間段9:20~9:40記作區(qū)間,9:40~10:00記作,10:00~10:20記作,10:20~10:40記作.例如:10點(diǎn)04分,記作時(shí)刻64.
(1)估計(jì)這600輛車在9:20~10:40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛,再?gòu)倪@10輛車中隨機(jī)抽取4輛,設(shè)抽到的4輛車中,在9:20~10:00之間通過的車輛數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(3)由大數(shù)據(jù)分析可知,車輛在每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布,其中可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替,可用樣本的方差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表),已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn),估計(jì)在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)(結(jié)果保留到整數(shù)).
參考數(shù)據(jù):若,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足:①對(duì)任意,都有;②當(dāng)時(shí),,
(1)當(dāng)時(shí),求的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若對(duì)任意,關(guān)于的不等式都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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