Question

17．設(shè)點(diǎn)G，M分別是△ABC的重心和外心，A（-1，0），B（1，0），且$\overrightarrow{GM}∥\overrightarrow{AB}$．
（1）求點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（2）已知點(diǎn)$D（-\frac{1}{2}，0）$，是否存在直線，使過(guò)點(diǎn)（0，1）并與曲線E交于P，Q兩點(diǎn)，且∠PDQ為鈍角．若存在，求出直線的斜率k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)C（x，y）（y≠0），得到G和AC中點(diǎn)的坐標(biāo)，再由$\overrightarrow{GM}∥\overrightarrow{AB}$得到M的坐標(biāo)，結(jié)合M是△ABC的外心，可得$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{AC}=0$，代入坐標(biāo)整理得答案；
（2）假設(shè)存在滿足條件的直線，并設(shè)其方程為y=kx+1，聯(lián)立直線方程與E的方程，由∠PDQ為鈍角，得$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}＜0$，展開(kāi)數(shù)量積，代入根與系數(shù)的關(guān)系，化為關(guān)于k的不等式得答案．

解答 解：（1）設(shè)C（x，y）（y≠0），則$G（\frac{x}{3}，\frac{y}{3}）$，
AC的中點(diǎn)$F（\frac{x-1}{2}，\frac{y}{2}）$，又$\overrightarrow{GM}∥\overrightarrow{AB}$，則$M（0，\frac{y}{3}）$，
又M是△ABC的外心，
∴$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{AC}=0$，即$\frac{x-1}{2}•（x+1）+\frac{y}{6}•y=0$，
化簡(jiǎn)得，${x^2}+\frac{y^2}{3}=1（y≠0）$，
即點(diǎn)C的軌跡E的方程為${x^2}+\frac{y^2}{3}=1（y≠0）$；
（2）假設(shè)存在滿足條件的直線，并設(shè)其方程為y=kx+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，消去y得（k²+3）x²+2kx-2=0，
則△=12k²+24＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{-2k}{{{k^3}+3}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{-2}{{{k^3}+3}}$，
由∠PDQ為鈍角，有$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{DQ}＜0$，
即$（{x_1}+\frac{1}{2}）（{x_2}+\frac{1}{2}）+{y_1}{y_2}=（{x_1}+\frac{1}{2}）（{x_2}+\frac{1}{2}）+（k{x_1}+1）（k{x_2}+1）$
=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（\frac{1}{2}+k）（{x_1}+{x_2}）+\frac{5}{4}＜0$
整理得，11k²+4k-7＞0，解得k＜-1或$k＞\frac{7}{11}$，
又當(dāng)k=1時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)A（-1，0），而A不在曲線E上，此時(shí)直線與曲線E只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，故舍去，
綜上可知符合條件的直線存在，且其斜率的取值范圍為k＜-1或$\frac{7}{11}＜k＜1$或k＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線方程的求法，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用，是中檔題．