Question

已知函數(shù)f（x）=log₂x與函數(shù)y=g（x）的圖象關于x=1對稱．
（1）求g（x）的解析式，并求其定義域；
（2）若關于x的不等式f(x)+g(x)＜log2(x2-2ax+2a+4)(a∈R)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由題意可得g（x）=f（2-x），根據解析式求出定義域．
（2）由題意可得x²-（a+1）x+a+2＞0在x∈（0，2）上恒成立，令h（x）=x²-（a+1）x+a+2，可得
①

a+1 2 ≤0 h(0)=a+2≥0

，或②

0＜ a+1 2 ＜2 h( a+1 2 )＞0

，或③

a+1 2 ≥2 h(2)=4-a≥0

．分別求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=log₂x與函數(shù)y=g（x）的圖象關于x=1對稱，
可得g（x）=f（2-x）=log₂（2-x），顯然定義域為（-∞，2）；
（2）∵f(x)+g(x)=log2x+log2(2-x)=log2x(2-x)＜log2(x2-2ax+2a+4)恒成立，
∴x（2-x）＜x²-2ax+2a+4在x∈（0，2）時恒成立，
即x²-（a+1）x+a+2＞0在x∈（0，2）上恒成立．
令h（x）=x²-（a+1）x+a+2，可得
①

a+1 2 ≤0 h(0)=a+2≥0

，∴

a≤-1 a≥-2

，∴-2≤a≤-1；
或②

0＜ a+1 2 ＜2 h( a+1 2 )＞0

，∴

-1＜a＜3 1-2 2 ＜x＜1+2 2

，∴-1＜a＜3；
或③

a+1 2 ≥2 h(2)=4-a≥0

∴

a≥3 a≤4

，∴3≤a≤4；
綜上：-2≤a≤4．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質的綜合應用，體現(xiàn)了轉化以及分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．