Question

（本小題滿分12分）如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點， 是線段上的點．

（I）當是的中點時，求證：平面；
（II）要使二面角的大小為，試確定點的位置．

Answer 1

（I）只需證；（II）。

試題分析：【法一】（I）證明：如圖，取的中點，連接．

由已知得且，
又是的中點，則且，
是平行四邊形，                    ………………
∴
又平面，平面
平面………………………
（II）如圖，作交的延長線于.
連接，由三垂線定理得，
是二面角的平面角．即…………………
，設，
由可得
故，要使要使二面角的大小為，只需………………
【法二】（I）由已知，兩兩垂直，分別以它們所在直線為軸建立空間直角坐標系．

則，，則………………
，，，
設平面的法向量為
則，
令得………………………………………
由，得
又平面，故平面…………………
（II）由已知可得平面的一個法向量為，
設，設平面的法向量為
則，令得……………
由，
故，要使要使二面角的大小為，只需……………
點評：綜合法求二面角，往往需要作出平面角，這是幾何中一大難點，而用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，經過簡單運算即可，從而體現了空間向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分別是二面的兩個半平面內與棱垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角或補角； ②設分別是二面角的兩個面α，β的法向量，則向量的夾角(或其補角)的大小就是二面角的平面角的大小。