Question

設二次函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c(a，b，c∈R)滿足下列條件：

①當x∈R時， f(x)的最小值為0，且f(x－1)＝f(－x－1)恒成立；

②當x∈(0,5)時，x≤f(x)≤2|x－1|＋1恒成立．

(1)求f(1)的值；

(2)求f(x)的解析式；

(3)求最大的實數(shù)m(m>1)，使得存在實數(shù)t，當x∈[1，m]時， f(x＋t)≤x恒成立．

Answer 1

解：(1)在②中令x＝1，有1≤f(1)≤1.故f(1)＝1.

(2)由①知二次函數(shù)的圖象關于直線x＝－1對稱，且開口向上，故設此二次函數(shù)為f(x)＝a(x＋1)²(a>0)．

因為f(1)＝1，所以a＝，所以f(x)＝(x＋1)².

(3)f(x)＝(x＋1)²的圖象開口向上，

而y＝f(x＋t)的圖象是由y＝f(x)的圖象向左或向右平移|t|個單位得到的，要在區(qū)間[1，m]上使得y＝f(x＋t)的圖象在y＝x的圖象下方，且m最大，則1和m應當是方程(x＋t＋1)²＝x的兩個根．

令x＝1代入方程，得t＝0或－4.

當t＝0時，方程的解為x₁＝x₂＝1(這與m>1矛盾，舍去)；

當t＝－4時，方程的解為x₁＝1，x₂＝9，所以m＝9.

又當t＝－4時，對任意x∈[1,9]，y＝f(x－4)－x＝(x－3)²－x＝(x²－10x＋9)＝(x－5)²－4≤0，

即f(x－4)≤x恒成立．所以最大的實數(shù)m為9.