Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，若，為函數(shù)的兩個不同極值點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得時，若，，單調(diào)遞增；若，求出導(dǎo)函數(shù)的零點，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系可得原函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)先得在R上單調(diào)遞增，原題轉(zhuǎn)化為證，根據(jù)和進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證，再由，得到證明 ，設(shè)，，化為證明，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可．

解：（1），

若，，，單調(diào)遞增.

若，由，解得，

且，，單調(diào)遞減，

，，單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2），

故在上單調(diào)遞增，即證：，

也即證：，

又 ，

，

所以，為方程的兩根，

即

即證，即，

而①-②得，

即證：，

不妨設(shè)，，

則證：變形得，

所以，，

設(shè)，

則，

∴在單調(diào)遞增，

，

即結(jié)論成立.