Question

已知橢圓+=1（a＞1）的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，拋物線C：y2=2px以F₂為焦點且與橢圓相交于點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），點M在x軸上方，直線F₁M與拋物線C相切．
（1）求拋物線C的方程和點M、N的坐標；
（2）設A，B是拋物線C上兩動點，如果直線MA，MB與y軸分別交于點P，Q．△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，探究直線AB的斜率是否為定值？若是求出這個定值，若不是說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由c²=a²-b²即可得到橢圓的焦點，進而得到p即拋物線的方程，設點M的坐標寫出方程，與拋物線的方程聯(lián)立，消去一個未知數得到關于另一個未知數的一元二次方程，由相切得到判別式△=0即可求出；
（2）設A，B．即可表示出k_MA，k_MB，由△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，可得k_MA=-k_MB．進而可證明k_AB為定值．
解答：解：（1）由橢圓方程得半焦距=1．
∴橢圓焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
又拋物線C的焦點為，∴，解得p=2．∴拋物線C的方程：y²=4x．
∵點M（x₁，y₁）在拋物線C上，
∴，直線F₁M的方程為．
代入拋物線C得，即．
∴         
∵F₁M與拋物線C相切，∴△==0，∴x₁=1．
∴M、N的坐標分別為（1，2）、（1，-2）．    
（2）直線AB的斜率為定值-1．
證明如下：設A，B．
則=，同理，
∵△MPQ是以MP，MQ為腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB．
即，
化為y₁+y₂+4=0得y₁+y₂=-4．
∴k_AB====-1．
所以直線AB的斜率為定值-1．
點評：熟練掌握橢圓、拋物線的標準方程及其性質、直線與曲線相交相切問題轉化為方程聯(lián)立得到一元二次方程得根與系數的關系及△≥0、△MPQ是以MP、MQ為腰的等腰三角形可得k_MA=-k_MB等設解題的關鍵．