Question

已知函數(shù)f（x）=

4x2-7

2-x

，求函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=2-x，則x=2-t，原函數(shù)變?yōu)閒（t）=

4(2-t)2-7

t

=4t+

9

t

-16，求導(dǎo)用導(dǎo)數(shù)求最值．

解答： 解：令t=2-x，則x=2-t，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]
原函數(shù)變?yōu)閒（t）=

4(2-t)2-7

t

=4t+

9

t

-16，且f（1）=-3、f（2）=-

7

2

∴f′(t)=4-

9

t2

=

4(t+ 3 2 )(t- 3 2 )

t2

∴t∈[1，

3

2

]時，f′（t）＜0，函數(shù)f（t）在[1，

3

2

]上遞減；t∈[

3

2

，2]時，f′（t）＞0，函數(shù)f（t）在[

3

2

，2]上遞增；
∴當(dāng)t=

3

2

時，函數(shù)取最小值，∴f_最小值=4×

3

2

+

9

3 2

-16=-4，
當(dāng)t=1時，函數(shù)取最大值，∴f_最大值=-3．
∴原函數(shù)的值域為[-4，-3]

點(diǎn)評：本題主要考查求值域的方法，換元法是經(jīng)常被采用的方法，此題同時考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，注意導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系．