Question

12．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且對一切正整數n都有S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在實數a，使不等式（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1-$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1-$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a\sqrt{2n+1}}$對一切正整數n都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）對一切正整數n都有S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n-2n=-[a_n-1-（2n-2）]．n=1時，${a}_{1}=1+\frac{1}{2}{a}_{1}$，解得a₁=2．即可得出．
（2）存在實數a＞$\sqrt{3}$，使不等式（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1-$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1-$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a\sqrt{2n+1}}$對一切正整數n都成立．即$（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$×…$（1-\frac{1}{2n}）$＜$\frac{a-\frac{3}{2a}}{\sqrt{2n+1}}$．∵f（a）=a-$\frac{3}{2a}$在a≥$\sqrt{3}$時單調遞增，因此只要證明n≥2時，a=$\sqrt{3}$時成立即可．利用數學歸納法證明：$（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$×…$（1-\frac{1}{2n}）$＜$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2n+1}}$．（n≥2）．

解答 解：（1）∵對一切正整數n都有S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n，∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+$\frac{1}{2}$a_n-$[（n-1）^{2}+\frac{1}{2}{a}_{n-1}]$，
化為：a_n-2n=-[a_n-1-（2n-2）]，
n=1時，${a}_{1}=1+\frac{1}{2}{a}_{1}$，解得a₁=2．
可得a_n-2n=0，因此a_n=2n．
（2）存在實數a＞$\sqrt{3}$，使不等式（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1-$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1-$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a\sqrt{2n+1}}$對一切正整數n都成立．
即$（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$×…$（1-\frac{1}{2n}）$＜$\frac{a-\frac{3}{2a}}{\sqrt{2n+1}}$．∵f（a）=a-$\frac{3}{2a}$在a≥$\sqrt{3}$時單調遞增，因此只要證明n≥2時，a=$\sqrt{3}$時成立即可．
下面利用數學歸納法證明：$（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$×…$（1-\frac{1}{2n}）$＜$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2n+1}}$．（n≥2）．
（i）n=2時，$（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$=$\frac{3}{8}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$，因此成立．
（ii）假設n=k≥2（k∈N^*）時成立，即$（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$×…（1-$\frac{1}{2k}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2k+1}}$．（n≥2）
n=k+1時，$（1-\frac{1}{2}）×（1-\frac{1}{4}）$×…（1-$\frac{1}{2k}$）（1-$\frac{1}{2k+2}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2k+1}}$×（1-$\frac{1}{2k+2}$）
下面證明：$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2k+1}}$×（1-$\frac{1}{2k+2}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2k+3}}$．即證明：1-$\frac{1}{2k+2}$＜$\frac{\sqrt{2k+1}}{\sqrt{2k+3}}$?$\sqrt{4{k}^{2}+8k+3}$＜$\sqrt{4{k}^{2}+8k+4}$，
上式顯然成立，因此n=k+1時成立．
而n=1時，1-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$，
綜上可得：存在實數a＞$\sqrt{3}$，使不等式（1-$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1-$\frac{1}{{a}_{2}}$）…（1-$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a\sqrt{2n+1}}$對一切正整數n都成立．

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其性質、數列遞推關系、數學歸納法、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．