Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，P為CD的中點．
（1）求證：CD⊥平面MAP；
（2）求證：MP∥平面OBC；
（3）求三棱錐M-PAD的體積．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)，可得OA⊥CD，再利用線面垂直的判定，可得線面垂直；
（2）設N為線段OB的中點，連接MN、CN，可得四邊形MNCP為平行四邊形，從而可得MP∥CN，利用線面平行的判定，可得線面平行；
（3）利用三棱錐的體積公式，即可求得結論．

解答：（1）證明：∵OA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴OA⊥CD
∵四邊形ABCD這菱形且∠ABC=60°，∴△ACD為正三角形，
∵P為CD的中點，∴AP⊥CD
又OA∩AP=A，∴CD⊥平面MAP；…（5分）
（2）證明：設N為線段OB的中點，連接MN、CN，則
∵M為OA的中點，∴MN∥AB，且MN=

1

2

AB，∴MN∥CP且MN=CP，
∴四邊形MNCP為平行四邊形，∴MP∥CN
∵MP?平面OBC，CN?平面OBC
∴MP∥平面OBC；…（10分）
（3）解：∵OA=CD=2，∴AP=

3

，PD=1，MA=1，
∴VM-PAD=

1

3

•

1

2

•1•

3

•1=

3

6

…（14分）

點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查三棱錐體積的計算，屬于中檔題．