Question

3．直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x²-y²=1．
（1）若直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若直線分別與雙曲線的兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 將直線方程代入雙曲線方程，化為關(guān)于x的方程，利用方程的判別式，即可求得k的取值范圍．

解答 解：由題意，直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x²-y²=1，可得2x²-（kx+1）²=1，整理得（2-k²）x²-2kx-2=0．
（1）只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)2-k²=0，k=±$\sqrt{2}$時(shí)，符合條件；當(dāng)2-k²≠0時(shí)，由△=16-4k²=0，解得k=±2；
（2）交于異支兩點(diǎn)，$\frac{-2}{2-{k}^{2}}$＜0，解得-$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，運(yùn)用判別式解決，注意只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，不要忽視了與漸近線平行的情況，屬于易錯(cuò)題．