Question

14．已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，g（x）是R上的偶函數(shù)，且有g(shù)（1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，則f（x）g（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 先根據(jù)f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0可確定[f（x）g（x）]'＞0，進(jìn)而可得到f（x）g（x）在x＞0時(shí)遞增，結(jié)合函數(shù)f（x）與g（x）的奇偶性可確定f（x）g（x）在x＜0時(shí)也是增函數(shù)，最后根據(jù)g（1）=0可求得答案．

解答 解：因 f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0，
f（x）g（x）在x＞0時(shí)遞增，
又∵f（x），g（x）分別是定義R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
∴f（x）g（x）為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（x）g（x）在x＜0時(shí)也是增函數(shù)．
∵f（1）g（1）=0，
∴f（-1）g（-1）=0
∴f（x）g（x）＞0的解集為：x＞1或-1＜x＜0
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，不等式的解法等，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以確定函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題．屬于中檔題．