對于數(shù)列{un}若存在常數(shù)M>0,對任意的n∈N+,恒有|un+1-un|+|un-un1|+…+|u2-u1|≤M則稱數(shù)列un為B-數(shù)列
(1)首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列?請說明理由;
(2)設(shè)sn是數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和,給出下列兩組判斷:
A組:①數(shù)列{xn}是B-數(shù)列.      ②數(shù)列{xn}不是B-數(shù)列.
B組  ③數(shù)列{sn}是B-數(shù)列.      ④數(shù)列{sn}不是B-數(shù)列
請以其中一組的一個論斷條件,另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題判斷所給命題的真假,并證明你的結(jié)論;
(3)若數(shù)列{an}是B-數(shù)列,證明:數(shù)列{an2}也是B-數(shù)列.
【答案】分析:(1)根據(jù)B-數(shù)列的定義,首項(xiàng)為1,公比為q=的等比數(shù)列,驗(yàn)證|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M即可;
(2)首項(xiàng)寫出兩個命題,根據(jù)B-數(shù)列的定義加以證明,如果要說明一個命題不正確,則只需舉一反例即可;
(3)數(shù)列{an}都是B-數(shù)列,則有|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤M1下面只需驗(yàn)證|an+12-an2|+|an2-an-12|+…+|a22-a12|≤M.
解答:解:(1)設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為an,

于是n≥2
|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|
=
=,所以首項(xiàng)為1,公比為-的等比數(shù)列是B-數(shù)列.
(2)命題1:若數(shù)列xn是B-數(shù)列,
則數(shù)列Sn是B-數(shù)列.此命題為假命題.
事實(shí)上設(shè)xn=1(n∈N*),易知數(shù)列xn是B-數(shù)列,但Sn=n,
|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|=n.
由n的任意性知,數(shù)列Sn不是B-數(shù)列.
命題2:若數(shù)列Sn是B-數(shù)列,
則數(shù)列xn不是B-數(shù)列.此命題為真命題.
事實(shí)上,因?yàn)閿?shù)列Sn是B-數(shù)列,
所以存在正數(shù)M,對任意的n∈N*,
有|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|≤M,
即|xn+1|+|xn|+…+|x2|≤M.
于是|xn+1-xn|+|xn-xn-1|+…+|x2-x1|≤|xn+1|+2|xn|+2|xn-1|+…+2|x2|+|x1|≤2M+|x1|,
所以數(shù)列xn是B-數(shù)列.
(3)若數(shù)列是{an}B-數(shù)列,則存在正數(shù)M,對任意的n∈N*
|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤M
因?yàn)閨an|=|an-an-1+an-1+an-2+…+a2-a1+a1|≤|an-an-1|+|an-1-an-2|+…+|a2-a1|+|a1|≤M+|a1|
記K=M+|a1|,則有|an+12-an2|=|(an+1+an)(an+1-an
≤(|an+1|+|an|)|an+1-an|≤2K|an+1-an|
因此|an+12-an2|+|an2-an-12|+…+|a22-a12|≤2KM
故數(shù)列{an2}是B-數(shù)列.
點(diǎn)評:考查學(xué)生理解數(shù)列概念,靈活運(yùn)用數(shù)列表示法的能力,旨在考查學(xué)生的觀察分析和歸納能力,特別是問題(2)(3)的設(shè)置,增加了題目的難度,同時也考查了等差數(shù)列的定義和分類討論的思想,屬難題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于數(shù)列{un}若存在常數(shù)M>0,對任意的n∈N',恒有|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M
則稱數(shù)列{un}為B-數(shù)列
(1)首項(xiàng)為1,公比為q(|q|<1)的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列?請說明理由;
(2)設(shè)Sn是數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和,給出下列兩組論斷;
A組:①數(shù)列{xn}是B-數(shù)列      ②數(shù)列{xn}不是B-數(shù)列
B組:③數(shù)列{Sn}是B-數(shù)列      ④數(shù)列{Sn}不是B-數(shù)列
請以其中一組中的一個論斷為條件,另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題.
判斷所給命題的真假,并證明你的結(jié)論;
(3)若數(shù)列{an},{bn}都是B-數(shù)列,證明:數(shù)列{anbn}也是B-數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于數(shù)列{un}若存在常數(shù)M>0,對任意的n∈N+,恒有|un+1-un|+|un-un1|+…+|u2-u1|≤M則稱數(shù)列un為B-數(shù)列
(1)首項(xiàng)為1,公比為-
12
的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列?請說明理由;
(2)設(shè)sn是數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和,給出下列兩組判斷:
A組:①數(shù)列{xn}是B-數(shù)列.      ②數(shù)列{xn}不是B-數(shù)列.
B組  ③數(shù)列{sn}是B-數(shù)列.      ④數(shù)列{sn}不是B-數(shù)列
請以其中一組的一個論斷條件,另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題判斷所給命題的真假,并證明你的結(jié)論;
(3)若數(shù)列{an}是B-數(shù)列,證明:數(shù)列{an2}也是B-數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•廣東模擬)已知數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn+1=Sn+
1
1+xn
,S1=
1
2n
    n∈N+

(I)猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)對于數(shù)列{un}若存在常數(shù)M>0,對任意的n∈N+,恒有|un+1-un|+|un-un-1|+-+|u2-u1|≤M則稱數(shù)列{Un}為B-數(shù)列.問數(shù)列{xn}是B-數(shù)列嗎?并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和為Sn滿足數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式
(I)猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)對于數(shù)列{un}若存在常數(shù)M>0,對任意的n∈N+,恒有|un+1-un|+|un-un-1|+-+|u2-u1|≤M則稱數(shù)列{Un}為B-數(shù)列.問數(shù)列{xn}是B-數(shù)列嗎?并證明你的結(jié)論.

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