【題目】已知如圖1,在RtABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,DAC中點(diǎn),AEBDE,延長AEBCF,將ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如圖2所示。

(Ⅰ)求證:AE平面BCD

(Ⅱ)求二面角A-DC-B的余弦值;

(Ⅲ)求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比(只需寫出結(jié)果,不要求過程).

【答案】)證明見解析;(;(1:5

【解析】

)由平面ABD⊥平面BCD,交線為BD,AEBDE,能證明AE⊥平面BCD;

)以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EF、EDEA所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;

)利用體積公式分別求出三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積,再作比寫出答案即可.

)證明:∵平面ABD⊥平面BCD,交線為BD,

又在ABD中,AEBDE,AE平面ABD,

AE⊥平面BCD

)由(1)知AE⊥平面BCD,∴AEEF

由題意知EFBD,又AEBD

如圖,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EFED、EA所在直線為x軸,y軸,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

設(shè)AB=BD=DC=AD=2,
BE=ED=1,∴AE=,BC=2BF=,

E0,0,0),D0,1,0),B0,-10),A0,0),
F,00),C,20),

,,

AE⊥平面BCD知平面BCD的一個(gè)法向量為

設(shè)平面ADC的一個(gè)法向量,

,取x=1,得,

,

∴二面角A-DC-B的平面角為銳角,故余弦值為
)三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比為:1:5.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)若,求曲線的直角坐標(biāo)方程以及直線的極坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點(diǎn),曲線與直線交于兩點(diǎn),求的最小值.

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電動(dòng)摩托車編號(hào)

1

2

3

4

5

A型續(xù)航里程(km

120

125

122

124

124

B型續(xù)航里程(km

118

123

127

120

a

已知A,B兩個(gè)型號(hào)被測(cè)試電動(dòng)摩托車?yán)m(xù)航里程的平均值相等.

1)求a的值;

2)求A型號(hào)被測(cè)試電動(dòng)摩托車?yán)m(xù)航里程標(biāo)準(zhǔn)差的大。

3)從被測(cè)試的電動(dòng)摩托車中隨機(jī)抽取A,B型號(hào)電動(dòng)摩托車各1臺(tái),求至少有1臺(tái)的續(xù)航里程超過122km的概率.

(注:n個(gè)數(shù)據(jù),的方差,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))

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分?jǐn)?shù)

甲班頻數(shù)

乙班頻數(shù)

(Ⅰ)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”?

甲班

乙班

總計(jì)

成績優(yōu)秀

成績不優(yōu)秀

總計(jì)

(Ⅱ)現(xiàn)從上述樣本“成績不優(yōu)秀”的學(xué)生中,抽取人進(jìn)行考核,記“成績不優(yōu)秀”的乙班人數(shù)為,求的分布列和期望.

參考公式:,其中

臨界值表

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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