Question

11．.圓C：x²+y²-2x-4y-20=0，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
（1）已知直線l過定點(diǎn)M，求定點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求直線l被圓C截得的弦長最短時(shí)m的值以及最短長度．

Answer 1

分析 （1）利用直線系化簡，通過解方程求解定點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求出圓的圓心與半徑，判斷弦長最小值的位置，求解即可．

解答 解：（1）直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0化為：（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$ 即M（3，1）…（5分）
（2）圓C的圓心C（1，2），半徑r=5．設(shè)直線l與圓C相交于點(diǎn)A，B，則當(dāng)AB⊥CM時(shí)，弦AB最短．
直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0的斜率為：$-\frac{2m+1}{m+1}$=-$\frac{1}{{k}_{CM}}$=-$\frac{1-3}{2-1}$=2，解得m=$-\frac{3}{4}$．
此時(shí)d=CM=$\sqrt{5}$，|AB|_min=2$\sqrt{{r}^{2}-ts7m7vm^{2}}$=4$\sqrt{5}$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線系方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．