Question

二次函數(shù)y=-

5

4

x²-

17

4

x+1與直線(xiàn)y=-

1

2

x+1相交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），連接AN、BN，求△ABN的最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可以先用二次函數(shù)y=-

5

4

x²-

17

4

x+1與直線(xiàn)y=-

1

2

x+1聯(lián)列方程組，求出交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再將直線(xiàn)y=-

1

2

x+1平移至與二次函數(shù)y=-

5

4

x²-

17

4

x+1的圖象相切，得到直線(xiàn)l′，求出直線(xiàn)l′的方程，再利用距離公式求出直線(xiàn)y=-

1

2

x+1與直線(xiàn)l′：y=-

1

2

x+

61

16

的距離，得到三角形的高的最大值，從而求出△ABN的最大面積，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵二次函數(shù)y=-

5

4

x²-

17

4

x+1與直線(xiàn)y=-

1

2

x+1相交于A、B兩點(diǎn)，
∴-

5

4

x²-

17

4

x+1=-

1

2

x+1，即x²+3x=0，
∴

x=-3 y= 5 2

或

x=0 y=1

，
∴A（-3，

5

2

），B（0，1），
∴|AB|=

(-3-0)2+( 5 2 -1)2

=

3

2

5

．
將直線(xiàn)y=-

1

2

x+1平移至與二次函數(shù)y=-

5

4

x²-

17

4

x+1的圖象相切，得到直線(xiàn)l′，
設(shè)直線(xiàn)l′的方程為：y=-

1

2

x+m，
∴5x²+15x+4m-4=0，
根的判別式△=0，
∴15²-4×5×（4m-4）=0，
∴m=

61

16

，
∴直線(xiàn)l′的方程為：y=-

1

2

x+

61

16

，
∴直線(xiàn)y=-

1

2

x+1與直線(xiàn)l′：y=-

1

2

x+

61

16

的距離為：
d=

|-2+ 61 8 |

12+22

=

9 5

8

．
S_△ABN=

1

2

×

3

2

5

×

9

8

5

=

135

32

．
∴△ABN的最大面積為：

135

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．