【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)有最大值.設(shè)的最大值為,求函數(shù)的值域.
【答案】(Ⅰ)答案見解析.(Ⅱ)答案見解析.
【解析】
(Ⅰ),令,然后根據(jù)判別式的符號(hào)討論函數(shù)函數(shù)值的情況,進(jìn)而得到的符號(hào),于是可得函數(shù)的單調(diào)情況.
(Ⅱ)由題意得,結(jié)合(Ⅰ)得當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,且,因此得到對任意,存在唯一的,使,且在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以的最大值.設(shè),則在單調(diào)遞減,可得,進(jìn)而可得所求值域.
(Ⅰ)由,
得.
令,
則,
(1)當(dāng)時(shí),,所以,,
所以在上單調(diào)遞減.
(2)當(dāng)或時(shí),,
設(shè)的兩根為且,則,
①若,可知,
則當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.
②若,可知,
則當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.
綜上可知:
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(Ⅱ)由,
得
,
由(Ⅰ)可知當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,且,
所以對任意,存在唯一的,使(反之對任意,
也存在唯一,使).
且當(dāng)時(shí),,,在單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,,在單調(diào)遞減.
因此當(dāng)時(shí),取得最大值,且最大值
,
令,
則,
所以在單調(diào)遞減,
所以,即,
所以的值域?yàn)?/span>.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱中,,,,,點(diǎn)D,E分別為AB,的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)求異面直線與所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,其左,右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且,,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn),且斜率為的動(dòng)直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),求弦AB的垂直平分線在軸上截距的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將參加數(shù)學(xué)競賽決賽的500名同學(xué)編號(hào)為:001,002,...,500,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的樣本,且隨機(jī)抽到的號(hào)碼為005,這500名學(xué)生分別在三個(gè)考點(diǎn)考試,從001到200在第一考點(diǎn),從201到365在第二考點(diǎn),從366到500在第三考點(diǎn),則第二考點(diǎn)被抽中的人數(shù)為( )
A. 15B. 16C. 17D. 18
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解小學(xué)生的體能情況,抽取了某小學(xué)同年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行跳繩測試,將所得的數(shù)據(jù)整理后畫出頻率分布直方圖,已知圖中從左到右的前三個(gè)小組的頻率分別是0.1,0.3,0.4第一小組的頻數(shù)是5.
(1)求第四小組的頻率和該組參加這次測試的學(xué)生人數(shù);
(2)在這次測試中,學(xué)生跳繩次數(shù)的中位效落在第幾小組內(nèi)?
(3)從第一小組中選出2人,第三小組中選出3人組成隊(duì)伍代表學(xué)校參加區(qū)里的小學(xué)生體質(zhì)測試,在測試的某一環(huán)節(jié),需要從這5人中任選兩人參加測試,求這兩人來自同一小組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線恒過定點(diǎn).
(Ⅰ)若直線經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直,求直線的方程;
(Ⅱ)若直線經(jīng)過點(diǎn)且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離等于3,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四色猜想是世界三大數(shù)學(xué)猜想之一,1976年美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯證明了四色定理.其內(nèi)容是:“任意一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家涂上不同的顏色.”用數(shù)學(xué)語言表示為“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域,每一個(gè)區(qū)域總可以用1,2,3,4四個(gè)數(shù)字之一標(biāo)記,而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字.”如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線圍成的各區(qū)域(如區(qū)域D由兩個(gè)邊長為1的小正方形構(gòu)成)上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的四色地圖符合四色定理,區(qū)域A、B、C、D、E、F標(biāo)記的數(shù)字丟失若在該四色地圖上隨機(jī)取一點(diǎn),則恰好取在標(biāo)記為4的區(qū)域的概率是
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,,,,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)證明:直線平面;
(2)求異面直線與所成角的余弦值;
(3)求平面與所成二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)P是橢圓上一點(diǎn),M,N分別是兩圓(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為 ( )
A. 9,12 B. 8,11 C. 10,12 D. 8,12
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